Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

136 Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient Interessant ist auch, wie weit die einzelnen Umsätze der einzelnen Monate vom mittleren Umsatz entfernt liegen. Dafür können wir von jedem Umsatz das arithmetische Mittel subtrahieren. Dann ergeben sich 12 Differenzen: ‒ 6, ‒ 4, ‒1, 0, ‒ 2, ‒1, ‒ 4, ‒ 5, 0, ‒ 2, 1, 24 Diese Differenzen schwanken stark, aber ihre Summe ist 0. Das ist eigentlich nicht erstaunlich, weil diese Summe die Differenz der Summe aller Monatsumsätze und des 12-fachen mittleren Monatsumsatzes ist. Subtrahend und Minuend sind daher gleich dem Jahresumsatz, die Diffe- renz ist 0. Für eine mittlere Abweichung brauchen wir also ein anderes Konzept. Wir betrachten die Quadrate der Abweichungen und erhalten 36, 16, 1, 0, 4, 1, 16, 25, 0, 4, 1, 576. Das arithmetische Mittel davon ist 1 _ 12 ·(36 + 16 + 1 + 0 + 4 + 1 + 16 + 25 + 0 + 4 + 1 + 576) = 170 _ 3 = 56,67. Wir nennen diese „mittlere quadratische Abweichung“ vom Mittelwert Varianz des Merkmals. Die Wurzel aus der Varianz 9 __ 170 _ 3   ≈ 7,53 nennen wir Standardabweichung des Merkmals. Ist _ x das arithmetische Mittel eines quantitativen Merkmals x, n die Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit und sind x 1 , …, x n die Werte des Merkmals, dann heißt die Zahl σ 2 = (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 _____ n Varianz von x. Ihre Wurzel σ = 9 __ σ 2 heißt Standardabweichung . Tipp σ ist der griechische Buchstabe „sigma“. GeoGebra Varianz[ <Liste von Zahlen> ] Standardab- weichung[ <Liste von Zahlen> ] EXCEL = VAR.P( Zahl1 ; [Zahl2] ; …) = STABWN( Zahl1 ;  [Zahl2] ; …) ¥ ¥ TI Nspire varPop( Liste ) stDevPop( Liste ) Betrachten wir nun für unser Beispiel den Quotienten der Standardabweichung und des arithmetischen Mittels, so erhalten wir den Variationskoeffizienten 7,53 _ 26 = 0,28 = 28% und sagen, dass der Monatsumsatz im Mittel um 28% vom arithmetischen Mittel abweicht. Den Quotienten σ  _ _ x von Standardabweichung und arithmetischem Mittel nennt man Variationskoeffizient. Varianz Standard- abweichung Varianz und Standard- abweichung berechnen ggb/xls/tns c3p284 Variations- koeffizient Beschreibende Statistik Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags s öbv