Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

108 Anpassung der Laufzeit eines Kredits Es gibt mehrere mögliche Ursachen, die zu einer Änderung der Laufzeit eines Kredits führen können. Ändert sich beispiels- weise die Ratenhöhe bei unverändertem Zinssatz, so muss die Laufzeit angepasst werden. Auch wenn nach einer Zahlungs- pause oder nach einer Sonderzahlung die ursprünglichen Raten weiter bezahlt werden, muss die Laufzeit entsprechend verän- dert werden. Natürlich ist es auch möglich, dass zunächst eine neue Laufzeit vereinbart wird und daher eine neue Ratenhöhe berechnet werden muss. Ein Kredit über den Betrag K 0 soll durch n Raten R zurückgezahlt werden. Nach m Raten und einer eventuellen Zahlungspause von k Raten soll der Kredit in weiterer Folge beim Aufzinsungs- faktor q’ und der Rate R’ zu Ende gezahlt werden. Um die Anzahl der (Voll-)Raten zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor: Wir berechnen zuerst die Restschuld zum Zeitpunkt der Änderung: nachschüssig vorschüssig K m = K 0 ·q m – R· q m – 1 _ q – 1 K m = K 0 ·q m – R·q· q m – 1 _ q – 1 Diese müssen wir eventuell noch für die Zeit der Zahlungspause aufzinsen: K m ·q k K m ·q k Die so erhaltene Restschuld bezeichnen wir mit K 0 ’. Damit berechnen wir die Anzahl der verbleibenden Vollraten n’: n’ = ln 2 R’ __ R’ – K 0 ’·(q’ – 1) 3 : ln(q’) n’ = ln 2 R’·q ___ R’·q – K 0 ’·(q’ – 1) 3 : ln(q’) 513 Ein Kredit über 80000€ soll bei einem nominellen Jahreszinssatz von 9% innerhalb von 10 Jahren  durch nachschüssige Monatsraten getilgt werden. a. Berechne die Rate. b. Nach 4 Jahren setzt man für 7 Monate mit den Zahlungen aus. Berechne, um wie viele Monate sich dadurch die Laufzeit des Kredits verlängert, wenn man nach der Zahlungspause wieder die ursprüngliche Rate bezahlt und eine eventuell fällige Teilrate einen Monat nach der letzten Vollrate beglichen wird. a. Da wir den nominellen Jahreszinssatz gegeben haben, berechnen wir zunächst den Monats- zinssatz i 12 = 9% _ 12 p.m. = 0,75% p.m. q = 1,0075 und n = 10·12 = 120 R = 800000·q 120 : 2 q 120 – 1 _ q – 1 3 = 1 013,41€ b. Um auszurechnen, um wie viele Monate sich die Rückzahlung verlängert, berechnen wir die Anzahl der Vollraten, die nach der Zahlungspause noch zu zahlen sind. Dafür müssen wir wissen, wie groß die Restschuld nach der Zahlungspause ist. Vor der Zahlungspause (nach 4 Jahren bzw. 48 Raten) beträgt die Restschuld K 48 = 80000·q 48 – 1 013,41· q 48 – 1 _ q – 1 = 56220,36€. Während der Zahlungspause fallen für diesen Betrag noch 7 Monate lang die Zinsen an, sodass die Restschuld auf 56220,36·q 7  = 59239,18€ ansteigt. Es liegt somit ein noch offener Kredit über K 0  ’ = 59239,18€ vor, der durch nach- schüssige Monatsraten von R’ = R = 1 013,41€ getilgt werden soll. Da sich der Zinssatz nicht geändert hat, ist auch q’ = q. Die Anzahl der Vollraten ist somit n’ = ln 2 1013,41 ____ 1013,41 – 59239,18·(q – 1) 3 : ln(q) = 77,22. Es sind noch 77 Vollraten und eine Teilrate im Folgemonat zu zahlen. Daher dauert die Rückzahlung des Kredits nach der Zahlungspause noch 78 Monate. Ursprünglich wären noch 120 – 48 – 7 = 65 Monate zu zahlen gewesen, daher verzögert sich die Rückzahlung um 13 Monate. Anpassung der Laufzeit eines Kredits eine Zahlungspause durch eine Änderung der Laufzeit ausgleichen A, B Schuldtilgung und Äquivalenzprinzip Nur zu Prüfzwecken q – Eigentum des Verlags ’ öbv