Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

85 4.2 Rechenregeln für Logarithmen Ich lerne Rechenregeln für Logarithmen anzuwenden. Aus den Rechenregeln für Potenzen folgt: Für alle reellen Zahlen n und alle positiven reellen Zahlen a ≠ 1, s und t gilt: log a (s·t) = log a (s) + log a (t) Der Logarithmus eines Produktes ist die Summe der Logarithmen. log a 2 s _ t 3 = log a (s) – log a (t) Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen. log a (t n ) = n·log a (t) Der Logarithmus einer Potenz mit Hochzahl n ist das n-Fache des Logarithmus. Bevor man Taschenrechner und Computer zum Rechnen zur Verfügung hatte, nützte man diese Eigenschaften, um Rechnungen zu vereinfachen. Dazu gab es Wertetabellen für Logarithmen. Anstatt 345,678·987,654 zu berechnen, las man  dort lg(345,678) und lg(987,654) ab, addierte diese  Zahlen und hatte damit lg(345,678·987,654). Nun  las man wieder aus der Wertetabelle ab, von wel- cher Zahl z das der Logarithmus war. Dann hatte man das Produkt z = 345,678·987,654 berechnet,  dabei aber nicht multiplizieren, sondern nur addieren müssen. Man konnte so die Rechenoperationen Multiplikation, Division und Potenzieren auf die einfache- ren Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation sowie auf ein zweimaliges Nachschlagen in der „Logarithmentafel“ zurückführen. Zum schnellen Rechnen war der „Rechen- schieber“, der auch die Eigenschaften der Logarithmen nutzte, sehr weit verbreitet. Es ist auch möglich, Logarithmen mit Basis a mithilfe des dekadischen bzw. des natürlichen Logarithmus zu berechnen. Das ist speziell dann notwendig, wenn ein Rechner oder eine Software keine Möglichkeit bietet, den Logarithmus zu einer vorgegebenen Basis direkt zu berechnen. Aus x = a log a (x) folgt ln(x) = ln 2 a log a (x) 3 = log a (x)·ln(a) und lg(x) = lg 2 a log a (x) 3 = log a (x)·lg(a). Also gilt: log a (x) = ln(x) _ ln(a) und log a (x) = lg(x) _ lg(a) 385 Zerlege lg 2 9 __ 2x 2 y _ a 3 b 2 3 mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen so weit wie möglich in eine Summe bzw. Differenz von einzelnen Logarithmen. lg 2 9 __ 2x 2 y _ a 3 b 2 3 = lg 2 2 2x 2 y _ a 3 b 2 3 1 _ 2 3 = 1 _ 2 ·lg 2 2x 2 y _ a 3 b 2 3 = = 1 _ 2 ·(lg(2x 2 y) – lg(a 3 b 2 )) = 1 _ 2 ·(lg(2) + lg(x 2 ) + lg(y) – lg(a 3 ) – lg(b 2 )) = = 1 _ 2 ·(lg(2) + 2 lg(x) + lg(y) – 3 lg(a) – 2 lg(b)) Rechenregeln für Logarithmen ggb a256me Basiswechsel von Logarithmen Logarithmen mithilfe der Rechengesetze zerlegen B 4.2 Rechenregeln für Logarithmen Nur zu Prüfz ecken – Eigentum des Verlags öbv