Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

72 Zusammenfassung Eine quadratische Gleichung ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind drei Zahlen a, b, c mit a ≠ 0, sie heißen die Koeffizienten der Gleichung. Gesucht sind alle Zahlen x mit der Eigenschaft ax 2 + bx + c = 0. Diese Zahlen heißen Lösungen der quadratischen Gleichung. Die Menge aller Lösungen der Gleichung heißt Lösungsmenge . Um die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 zu lösen, formen wir sie zuerst zu x 2 + px + q = 0 (dabei ist p = b _ a und q = c _ a ) und dann zu 2 x + p _ 2 3 2 = p 2 _ 4 – q um. Die Zahl D = p 2 _ 4 – q heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0. Aus der Diskriminante kann man ablesen, wie viele Lösungen diese quadratische Gleichung besitzt. Wenn D < 0 ist, dann gibt es keine Lösung. Wenn D = 0 ist, dann ist ‒ p _ 2 die einzige Lösung. Wenn D > 0 ist, dann gibt es zwei Lösungen , nämlich x 1, 2 = ‒ p _ 2 ± 9 _ D. Wenn p 2 _ 4 – q º 0 ist, dann hat die Gleichung x 2 + px + q = 0 die Lösungen x 1, 2 = ‒ p _ 2 ± 9 ___ p 2 _ 4 – q. Wenn b 2 – 4ac º 0 ist, dann hat die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 die Lösungen x 1, 2 = ‒b ± 9 _____ b 2 ‒ 4ac __ 2a . Eine quadratische Funktion ist eine Funktion f: R ¥ R mit f(x) = ax 2 + bx + c, dabei sind a, b, c reelle Zahlen und a ist nicht 0. Diese drei Zahlen heißen Koeffizienten der quadratischen Funktion f. Der Koeffizient a heißt Leitkoeffizient von f. Wir nennen eine Funktion f: R ¥ R auf einer Teilmenge M von R streng monoton wachsend , wenn für alle Zahlen a, b in M aus a < b folgt, dass auch f(a) < f(b) ist. Wir nennen eine Funktion f: R ¥ R auf einer Teilmenge M von R streng monoton fallend , wenn für alle Zahlen a, b in M aus a < b folgt, dass f(a) > f(b) ist. Die Darstellung einer quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c als f mit f(x) = a(x – s) 2 + t heißt ihre Scheitelform . Der Punkt (s 1 t) liegt dann auf dem Graphen der quadratischen Funktion f und heißt sein Scheitel . quadratische Gleichung Diskriminante kleine Lösungsformel große Lösungsformel x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 quadratische Funktion streng monoton wachsend streng monoton fallend Scheitelform Scheitel Zusammenfassung: Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Nur zu Prüfzwecken . – Eigentum des Verlags öbv