Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

68 Nullstellen von Polynomfunktionen Die Berechnung von Funktionswerten von Polynomfunktionen ist einfach. Im Gegensatz dazu kann die Berechnung von Nullstellen von Polynomfunktionen sehr schwierig oder überhaupt nur näherungsweise möglich sein. Für Polynomfunktionen vom Grad 2haben wir deren Nullstellen durch quadratisches Ergänzen berechnen können. Für Polynomfunktionen vom Grad 3 und 4 wurden erst im 16. Jahrhundert von italienischen Mathematikern „Lösungsformeln“ (die Formeln von Cardano) entwickelt. Im 19. Jahrhundert wurde dann gezeigt, dass es prinzipiell nicht möglich ist, für Polynomfunktionen ab dem Grad 5 „Lösungsformeln“ dieser Art anzugeben. Im Allgemeinen kann man in diesem Fall Nullstellen nur noch näherungsweise berechnen. Trotzdem kann man Aussagen über die Anzahl der Nullstellen einer Polynomfunktion machen. Ein Polynom mit Grad n hat höchstens n Nullstellen . Der Graph eines Polynoms vom Grad n kann also höchstens n Schnittpunkte mit der x-Achse haben. Insbesondere haben alle Polynome mit Ausnahme der konstanten Funktion 0 nur endlich viele Nullstellen. Die Graphen von Polynomfunktionen haben somit nur endlich viele Schnittpunkte mit der x-Achse. Die gezeichneten Graphen der Funktionen f, g und h haben, falls diese Polynomfunktionen sind, mindestens die Grade 2, 3 und 4. Wenn hingegen der Graph einer Funktion zum Beispiel die x-Achse in den Punkten (n 1 0), für alle ganzen Zahlen n, schneidet, dann kann diese Funktion keine Polynomfunktion sein. Beachte: Es gibt Polynomfunktionen, die keine reellen Zahlen als Nullstellen haben (zum Beispiel f mit f(x) = x 2 + 1) und Polynomfunktionen p, die zwar Nullstellen haben, aber weniger als gr(p). Zum Beispiel hat p mit p(x) = x 99 den Grad 99, aber nur eine Nullstelle (nämlich 0). GeoGebra Nullstelle[ <Polynom> ] TI Nspire zeros( Ausdr, Var ) 302 Ermittle alle Nullstellen der Polynomfunktion p mit p(x) = (x – 3) 2 (x + 5)(x – 2). p(x) = 0, wenn (x – 3) 2 (x + 5)(x – 2) = 0 ist. Ein Produkt ergibt genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Es ist (x – 3) 2 = 0, wenn x = 3 ist, (x + 5) = 0, wenn x = ‒ 5 ist und (x – 2) = 0, wenn x = 2 ist. Daher sind die Nullstellen von p die Zahlen 3, ‒ 5 und 2. Anzahl der Nullstellen von Polynomen B A B C A B C D A f g h 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 0 x y 1 -1 - 2 - 3 - 4 2 3 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 x y 1 1 2 3 4 0 Nullstellen berechnen ggb/tns x9w3he Nullstellen einer Polynom- funktion ermitteln B ggb/tns 77d6jm Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Nur zu Z Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv