Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

67 Tipp Eine wichtige Eigenschaft von Polynomfunktionen ist, dass es einfach ist, ihre Funktionswerte zu berechnen. Es genügt dazu Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von reellen Zahlen auszuführen. Das ist ein Grund, der dafür spricht, sich bei der Modellierung von diversen Zusam- menhängen für Polynomfunktionen zu entscheiden. 293 Bestimme den Grad, den Leitkoeffizienten und die anderen Koeffizienten des Polynoms p mit p(x) = 3(x – 1)x 2 (x + 1) + x 2 + x + 1. Ausmultiplizieren ergibt p(x) = 3x 4 – 2x 2 + x + 1, also ist der Grad von p gr(p) = 4 und die Koeffizienten sind c 4 = 3, c 3 = 0, c 2  = ‒ 2, c 1 = 1, c 0 = 1. Der Leitkoeffizient ist c 4 = 3. 294 Gib den Grad und alle Koeffizienten des Polynoms p an. a. p(x) = x 3 _ 4 – 3x b. p(x) = x 4 _ 80 – x 2 _ 2 c.  p(x) = ‒   x 3 _ 4 + 2x 3 – 3x – 1 295 Berechne den Grad und den Leitkoeffizienten des Polynoms f. a. f(x) = 2(x + 3)(x – 2)(x + 1) c.  f(x) = ‒ 99876(x – 7)(3x + 2) b. f(x) = (3x – 4)(2x + 3)(4x – 1)x d. f(x) = 12345(2x – 3)(2x – 3) 296 Berechne den Funktionswert der Polynomfunktion f an der Stelle z. a. f(x) = 5x 4 – 3 x 3 – 2 x 2 + x + 4; z = 5 c. f(x) = 2x 4 + x 3 – 5x 2  + 2x – 3; z = ‒ 2 b. f(x) = 5x 4 – 3 x 3 – 2 x 2  + x + 4; z = ‒3  d. f(x) = 2x 4 + x 3 – 5x 2 + 2x – 3; z = 4 297 Zeichne die Graphen der Polynomfunktion p mithilfe eines CAS. a. p(x) = x 3 _ 4 – 3x b. p(x) = x 4 _ 80 – x 2 _ 2 c.    p(x) = ‒   x 3 _ 4 + 2x 3 – 3x – 1 d. p(x) = x 5 _ 4 – 2x 3 + x 298 Erstelle eine Wertetabelle der Funktion von R nach R für alle ganzen Zahlen im angegebenen Intervall und zeichne die entsprechenden Punkte des Graphen der Funktion. a. f(x) = x 2 – 6x + 7, für x * [0; 6] d. g(x) = 0,2x 3 – 0,3x 2 – 2,6x + 2,35, für x *  [‒ 4; 5] b. f(x) = x 3 _ 4 – 3x, für x *  [‒ 4; 4]    e.  u(w) = ‒  w 3 _ 4 + 2w 2 – 3w – 1, für w *  [‒1; 6] c. s(t) = t 4 _ 80 – t 2 _ 2 , für t *  [‒7; 7]    f. f(x) = x 5 _ 4 – 2x 3 + x, für x *  [‒ 3; 3] 299 Zeige für alle reellen Zahlen x. a. 5x 4 – 3x 3 – 2x 2 + x + 4 = (((5x – 3)x – 2)x + 1)x + 4 b. 2x 4 + x 3 – 5x 2 + 2x – 3 = (((2x + 1)x – 5)x + 2)x – 3 300 Seht euch Aufgabe 299 noch einmal genauer an und vergleicht den Rechenaufwand für die Berechnung von 5x 4 – 3x 3 – 2x 2 + x + 4 mit dem Rechenaufwand für die Berechnung von (((5x – 3)x – 2)x + 1)x + 4. Bei welcher Berechnung sind mehr Multiplikationen nötig? Bedenkt dabei, dass x 4 =x·x·x·x ist und daher 3 Multiplikationen erfordert. Löst anschließend noch einmal Aufgabe 296. 301 Benutze für die Aufgabe ein CAS. a. Erstelle vier Schieberegler für die Zahlen a, r, s und t. b. Zeichne den Graphen der Funktion f mit f(x) = a·(x – r)(x – s)(x – t). Betätige die Schiebe- regler und beobachte, wie sich dabei der Funktionsgraph ändert. c. Beschreibe, welche Auswirkung die Zahl a auf das Aussehen des Funktionsgraphen hat. Was ändert sich, wenn man den Schieberegler betätigt und was bleibt gleich? d. Beobachte, wo der Funktionsgraph die x-Achse schneidet und gib an, wie die Zahlen a, r, s und t die Lage dieser Schnittpunkte beeinflussen. Grad und Leitkoeffizient eines Polynoms bestimmen B, C B, C : B, C : B, C : B : , B D , C ; B, C ; 3.4 Polynomfunktionen Nur zu Prüfzwecken x – – Eigentum des Verlags öbv