Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

64 Erlös bei einer vom Preis abhängigen Nachfrage Ein neuer Schokoriegel soll auf dem Markt eingeführt werden. Die Verkaufsleitung überlegt, bei welchem Preis man den maximalen Erlös erzielen kann. Zu diesem Zweck wurde an zwei Standorten ein Testverkauf gestartet, was zu folgendem Ergebnis führte: Bei einem Preis von 1,80€ wurden an einem Tag 52 Schokoriegel verkauft, bei einem Preis von 1,40€ waren es sogar 84 Stück. Wir nehmen der Einfachheit wegen an, dass zwischen Preis und Nachfrage ein linearer Zusammenhang besteht. Bezeichnet man mit p(x) jenen Verkaufspreis, bei dem x Stück verkauft werden können, so gilt p(52) = 1,80 und p(84) = 1,40. Da wir annehmen, dass es sich bei p um eine lineare Funktion han- delt, muss p(x) = k·x + d sein. Die beiden Zahlen k und d erhalten wir als Lösung des linearen Gleichungssystems I) k·52 + d = 1,8 II) k·84 + d = 1,4. Daraus folgt k = ‒  1 _ 80 , d = 2,45. Somit können wir den Verkaufspreis, bei dem x Stück abgesetzt werden, durch die Preisfunktion p mit p(x) = ‒  1 _ 80 x + 2,45 ermitteln. Der Erlös, der beim Verkauf von x Stück erzielt wird, beträgt E(x) = p(x)·x = 2 ‒  1 _ 80 x + 2,45 3 ·x = ‒  1 _ 80 x 2  + 2,45x = ‒  1 _ 80 (x – 98) 2 + 120,05. Der Scheitel der Erlösfunktion E ist also (98 1 120,05). Das bedeutet, dass der maximale Erlös 120,05€ beträgt, wenn der Verkaufspreis so gewählt wird, dass 98 Schokoriegel verkauft werden. Der Verkaufspreis muss daher p(98) = ‒  1 _ 80  ·98 + 2,45 = 1,225 ≈ 1,23€ betragen. Nimmt man an, dass zwischen Verkaufspreis und Nachfrage nach einem Produkt ein linearer Zusammenhang besteht, so lässt sich der Verkaufspreis als lineare Preisfunktion p mit p(x) = k·x + d angeben. Die zugehörige Erlösfunktion E mit E(x) = p(x)·x ist dann eine quadratische Funktion. 285 Der Verkaufspreis, bei dem in einer Kantine pro Tag x Menüs verkauft werden können, lässt sich durch die lineare Preisfunktion p mit p(x) = ‒0,04x + 8,40 beschreiben. a. Berechne, zu welchem Preis man 50 Menüs verkaufen kann. b. Ermittle, bei welchem Verkaufspreis man den maximalen Erlös erzielt. a. p(50) = 6,4 Daher kann man bei einem Preis von 6,40€ 50 Menüs verkaufen. b. Wir bestimmen den Scheitel des Graphen der Erlösfunktion: E(x) = p(x)·x = ‒ 0,04x 2  + 8,4x = ‒ 0,04(x – s) 2  + t = ‒ 0,04x 2 + 0,08sx – 0,04s 2 + t Daraus folgt 8,4 = 0,08s, also s = 8,4 _ 0,08 = 105 und 0 = ‒ 0,04s 2  + t = ‒ 0,04·105 2  + t = ‒ 441 + t, also t = 441. Der Scheitel ist S = (105 1 441). Bei 105 verkauften Menüs erzielt man den maximalen Erlös von 441€. Der zugehörige Verkaufspreis ist dabei p(105) = 4,20€ pro Menü. Man erhält diesen Preis auch durch die Division 441 _ 105 = 4,2. den Verkaufspreis mit maximalem Erlös berechnen A, B ggb/tns py227c Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv