Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

63 280 Die Fixkosten eines Betriebes belaufen sich auf 20GE. Bei einer Produktion von 50ME ergeben sich Kosten in der Höhe von 1 470GE. Für 150ME betragen die Kosten 11 870GE. Der Verkaufspreis beträgt 20GE/ME. Nimm an, dass die Kostenfunktion quadratisch ist. a. Stelle die quadratische Kostenfunktion auf. b. Stelle die Gewinnfunktion auf. c. Ermittle den Gewinnbereich. d. Berechne, für welche Produktionsmenge man den maximalen Gewinn erzielt und wie hoch dieser ist. 281 Ein Betrieb hat monatliche Fixkosten von 30GE. Bei einer Produktion von 20ME betragen die Gesamtkosten 310GE, bei einer Produktion von 50ME betragen die Gesamtkosten 1 030GE. a. Nimm an, dass die Kostenfunktion dieses Betriebes quadratisch ist. Berechne sie. b. Gib an, mit welchen Kosten der Betrieb rechnen muss, wenn 30ME erzeugt werden sollen. c. Ermittle, wie viele ME höchstens produziert werden dürfen, damit die Gesamtkosten unter 900GE bleiben. d. Der Verkaufspreis beträgt 20GE/ME. Berechne die Erlösfunktion E. e. Stelle die Kosten- und die Erlösfunktion für x * [0; 50] in einem gemeinsamen Koordinaten- system dar und kennzeichne in der Zeichnung den Gewinnbereich. f. Gib die Gewinnfunktion an und stelle sie in einem neuen Koordinatensystem dar. g. Berechne, wie viele ME der Betrieb produzieren muss, um den maximalen Gewinn zu erzielen. Berechne die Höhe dieses Gewinns. 282 Welche der quadratischen Funktionen K können keine Kostenfunktionen sein? Begründe deine Antwort. Hinweis: Stelle den Funktionsgraphen mit einem CAS in einem Koordinatensystem dar und achte genau auf den Verlauf des Graphen. A K(x) = 0,25x 2 + 25x + 2500 C K(x) = 0,04x 2 – 6,8x + 900 E K(x) = 0,1x 2 + 3x – 15 B  K(x) = ‒ 0,04x 2 – 2x + 8000 D K(x) = 0,009x 2 + 18x + 4 F K(x) = x 2 + x + 1 283 Ein Betrieb stellt Trachtenfiguren für Souvenirläden her. Die monatlichen Fixkosten betragen 2000€. Bei einer Produktion von 100 Stück betragen die Kosten 4000€, bei einer Produktion von 200 Stück sind es bereits 8000€. Es wird angenommen, dass die Kostenfunktion quadratisch ist. a. Ermittle die quadratische Kostenfunktion dieses Betriebes. b. Diese Trachtenfiguren werden zu einem Preis von 50€ pro Stück verkauft. Stelle die Gewinn- funktion auf. c. Berechne den Break-Even-Point und die Gewinngrenze. Erkläre die Bedeutung dieser beiden Zahlen. d. Berechne, zu welchem Preis man die Trachtenfiguren verkaufen müsste, damit bereits ab 40 verkauften Figuren die Kosten gedeckt sind. 284 Von einem Betrieb ist die quadratische Kostenfunktion K mit K(x) = 0,2x 2 + 5x + 2880 bekannt. a. Stelle den Graphen der Kostenfunktion mithilfe eines CAS in einem geeigneten Koordinaten- system dar. b. Die produzierte Ware wird zu einem Preis von pGE/ME verkauft. Erstelle einen Schieberegler für den Preis p mit einem Wertebereich von 0 bis 100GE/ME und stelle den Graphen der Erlösfunktion E im gleichen Koordinatensystem dar. c. Betätige den Schieberegler und beobachte die Lage von Break-Even-Point und Gewinn- grenze. Beschreibe deine Beobachtungen, wenn der Verkaufspreis 65GE/ME beträgt und wenn er 40GE/ME beträgt. d. Ermittle mithilfe des Schiebereglers, zu welchem Preis man die Ware mindestens verkaufen muss, sodass man keinen Verlust erzielt. Lies ab, bei welchem Preis und bei wie vielen produzierten Mengeneinheiten das erstmals der Fall ist. e. Ermittle, bei welchem Verkaufspreis der Break-Even-Point genau bei 40 ME liegt. A, B ; A, B ; D ; A, B, C ; A, B, C ; 3.3 Modellieren mit quadratischen Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv