Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

62 275 Von einem Betrieb ist die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,25x 2 + 7,5x + 50 bekannt. Die produzierte Ware kann zu einem Preis von 20GE/ME verkauft werden. a. Stelle die Erlösfunktion auf. b. Stelle die Gewinnfunktion auf. c. Berechne den Break-Even-Point und die Gewinngrenze. d. Ermittle, bei wie viel verkauften Mengeneinheiten der Betrieb den maximalen Gewinn erzielt und wie groß dieser ist. a. Erlös = Preis mal verkaufte Mengeneinheiten E(x) = 20x b. Gewinn = Erlös – Kosten G(x) = 20x – (0,25x 2  + 7,5x + 50) = ‒ 0,25x 2 + 12,5x – 50 c. Im Break-Even-Point und in der Gewinngrenze ist der Gewinn gleich 0. ‒ 0,25x 2 + 12,5x – 50 = 0 Diese Gleichung hat die Lösungen 4,38 und 45,62 Die kleinere dieser beiden Zahlen ist der Break-Even-Point, die größere die Gewinngrenze. Also liegt der Break-Even-Point bei 4,38 ME und die Gewinngrenze bei 45,62 ME. d. Wenn eine quadratische Funktion einen negativen Leitkoeffizienten hat, dann ist ihr größt- möglicher Funktionswert die zweite Koordinate des Scheitels ihres Graphen. Seine erste Koordinate ist dann die Zahl, deren Funktionswert größtmöglich ist. Es ist ‒ 0,25x 2  + 12,5x – 50  = ‒ 0,25(x 2  – 50x + 200) = ‒ 0,25(x – 25) 2 + 106,25, also ist 25 die erste Koordinate des Scheitels. Den maximalen Gewinn erzielt man bei einer Produktion von 25 ME, dieser ist ‒ 0,25·25 2 + 12,5·50 – 50 = 106,25 GE. Den maximalen Gewinn von 106,25 GE erzielt man bei einer Produktion von 25 ME. 276 Herr Li stellt handgefertigte Tischtennisschläger für Profispieler her. Seine Produktionskosten in Euro für x Schläger lassen sich durch die Kostenfunktion K mit K(x) = 1,2x 2 + 20x + 1 500 beschreiben. Er kann für seine Schläger einen Preis von 270€ pro Stück verlangen. a. Stelle die Erlösfunktion auf. b. Stelle die Gewinnfunktion auf. c. Berechne den Break-Even-Point und die Gewinngrenze. d. Ermittle, wie viele Tischtennisschläger Herr Li produzieren muss, um den maximalen Gewinn zu erzielen. Gib den maximalen Gewinn an. 277 Von einem Betrieb ist die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,015x 2 + 12x + 2000 bekannt. Die Erlösfunktion ist E mit E(x) = 40x. Löse die folgenden Aufgaben mithilfe eines CAS. a. Stelle die Kosten- und die Erlösfunktion in einem geeigneten Koordinatensystem dar. b. Ermittle aus der Zeichnung den Break-Even-Point und die Gewinngrenze. 278 Die Produktionskosten für xME eines bestimmten Produktes betragen K(x) = 0,1x 2 + 4,5x + 75GE. Der Verkaufspreis für dieses Produkt beträgt 20GE/ME. a. Ermittle die Gewinnfunktion dieses Betriebes. b. Berechne den Break-Even-Point und die Gewinngrenze. c. Berechne, für welche Produktionsmenge der Betrieb den maximalen Gewinn erzielt, und gib diesen Gewinn an. 279 Ein Betrieb hat Fixkosten von 90GE. Bei einer Produktion von 50ME ergeben sich Kosten von 1 240GE, bei einer Produktion von 100ME betragen die Kosten 3890GE. a. Nimm an, dass die Kostenfunktion dieses Betriebes quadratisch ist, und berechne sie. b. Der Verkaufspreis beträgt 32GE/ME. Ermittle die Gewinnfunktion. c. Stelle die Gewinnfunktion graphisch dar und lies ab, wie viele ME produziert werden müssen, um den maximalen Gewinn zu erzielen. Berechne den maximalen Gewinn. ggb/tns t5sa5g A, B Erlösfunktion, Gewinnfunktion und Break- Even-Point berechnen A, B , A, B , A, B , A, B, C ; Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Nur zu Prüfzwecke – Eigentum des Verlags öbv