Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

61 270 Ein Betrieb hat monatliche Fixkosten von 5000€. Bei einer Produktion von 100 Stück fallen Kosten in der Höhe von 6300€ an, bei einer Produktion von 200 Stück betragen die Kosten 8100€. Wir nehmen an, dass die Kostenfunktion eine quadratische Funktion ist. a. Berechne die quadratische Kostenfunktion K, die jeder Zahl x die Gesamtkosten für die Produktion von x Stück des Produktes zuordnet. b. Berechne, wie viel Stück maximal produziert werden können, wenn die Kosten eine Höhe von 10000€ nicht übersteigen dürfen. a. K ist eine quadratische Funktion. Daher gilt K(x) = ax 2 + bx + c. Um die Zahlen a, b und c zu bestimmen, lösen wir ein System von drei Gleichungen, die wir direkt aus der Angabe herauslesen. I) K(0) = 5000 w a·0 2 + b·0 + c = 5000 II) K(100) = 6300 w a·100 2 + b·100 + c = 6300 III) K(200) = 8100 w a·200 2 + b·200 + c = 8100 Die Lösung des Gleichungssystems ist a = 0,025, b = 10,5 und c = 5000. Die gesuchte Kostenfunktion ist daher K mit K(x) = 0,025x 2 + 10,5x + 5000. b. Die Kostenfunktion K auf R + ist streng monoton wachsend, daher müssen wir die Gleichung K(x) = 10000 lösen. 0,025x 2 + 10,5x + 5000 = 10000 | – 10000 0,025x 2 + 10,5x – 5000 = 0 Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen 284,06 und ‒704,06. Eine negative Zahl kommt als Lösung nicht in Frage. Außerdem muss das Ergebnis eine ganze Zahl sein. Die maximal mögliche Produktionsmenge ist daher 284 Stück. 271 In der Tabelle sind für verschiedene Produktionsmengen in Stück die zugehörigen Kosten in Euro festgehalten. Ermittle die quadratische Kostenfunktion, die den drei Produktionsmengen die angegebenen Kosten zuordnet. 272 In der Tabelle sind für verschiedene Produktionsmengen in ME die zugehörigen Kosten in GE festgehalten. Wir nehmen an, dass sich die Kosten von x ME durch eine quadratische Kostenfunktion K beschreiben lassen. Gib ein lineares Gleichungssystem an, mit dessen Hilfe sich die Koeffizienten von K berechnen lassen. 273 Ein Kleinbetrieb stellt aufblasbare Werbesäulen für Produktpräsentationen her. Die monatlichen Kosten bei der Produktion von x Stück lassen sich durch eine quadratische Kostenfunktion K mit K(x) = 0,26x 2 + 92x + 4000 beschreiben. a. Der Betrieb erhält in diesem Monat einen Auftrag über 60 Stück solcher Werbesäulen. Berechne die dadurch anfallenden Produktionskosten. b. Ermittle, wie viele Werbesäulen im Monat produziert werden können, wenn die Kosten eine Höhe von 20000€ nicht übersteigen dürfen. 274 Ein Unternehmen erzeugt Schneekanonen für Skigebiete. Die monatlichen Fixkosten betragen dabei 80000€. Bei einer Produktion von 4 Stück betragen die Kosten 128640€, bei einer Produktion von 10 Stück sind es 204000€. Wir nehmen an, dass die Kostenfunktion eine quadratische Funktion ist. a. Ermittle die quadratische Kostenfunktion K, die jeder Zahl x die Kosten für die Produktion von x Schneekano- nen zuordnet. b. Berechne die Kosten für die Produktion von 20 Schneekanonen. c. Ermittle, wie viele Schneekanonen maximal produziert werden können, wenn die Produktionskosten 400000€ nicht übersteigen dürfen. ggb/tns 5i2jt2 A, B eine quadratische Kostenfunktion berechnen A, B Produktionsmenge Kosten 2000 Stück 14928€ 3000 Stück 22092€ 5000 Stück 44820€ , A ME GE 10 300 35 500 60 800 , A, B , A, B , 3.3 Modellieren mit quadratischen Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv