Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

60 Quadratische Kostenfunktionen Im 1. Jahrgang haben wir bereits den Begriff Kostenfunktion kennen gelernt. Wir erinnern uns: Die Kostenfunktion für die Erzeugung eines Produktes ordnet der Anzahl der produzierten Ein- heiten die Gesamtkosten für diese Produktion zu. Verkauft ein Betrieb eine Einheit seiner Ware zum Preis p, so ist der beim Verkauf von x Einheiten erzielte Erlös E(x) = p·x („Erlös ist Preis mal Menge“). Unter dem Gewinn bei x Einheiten versteht man den Erlös abzüglich der Kosten: G(x) = E(x) – K(x) („Gewinn ist Erlös minus Kosten“). Der Break-Even-Point ist die kleinste Anzahl der Einheiten einer Ware, bei der der Erlös und die Kosten gleich sind. Ist x der Break-Even-Point, dann gilt: E(x) = K(x) bzw. E(x) – K(x) = 0 bzw. G(x) = 0 . In der Kostentheorie ist es üblich, die Produktionsmenge nicht in Stück anzugeben, sondern in Mengeneinheiten. Eine Mengeneinheit (ME) steht dabei zum Beispiel für 1 000 Stück, ein Dutzend, eine Palette … Die Kosten selbst werden nicht in Euro angegeben, sondern in Geldeinheiten. Eine Geldeinheit (GE) steht dabei zum Beispiel für 1 000€, 10000$ … Achtung Die Verkaufspreise beziehen sich in diesem Fall auch jeweils auf eine Mengeneinheit, weshalb der Verkaufspreis in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME) angegeben werden muss. Aus der betriebswirtschaftlichen Praxis ist bekannt, dass Produktionskosten nicht immer linear verlaufen. Eine Erhöhung der Produktionsmenge ist oft auch mit teuren Überstunden und der Zumietung von Maschinen verbunden, wodurch die Kosten bei zunehmender Produktionsmenge immer stärker anwachsen. Einen solchen Kostenverlauf nennt man progressiv . Die Erhöhung der Produktionsmenge kann aber auch dazu führen, dass die Kosten der Produktion immer schwächer anwachsen. Einen solchen Kostenverlauf nennt man degressiv . In jedem Fall ist die Kostenfunktion streng monoton wachsend. linearer Kostenverlauf: Jedes produzierte Stück verursacht die gleichen Kosten. progressiver Kostenverlauf: Erhöht man die Produktionsmenge, steigen die Kosten immer stärker an. degressiver Kostenverlauf: Erhöht man die Produktions- menge, steigen die Kosten immer schwächer an. Die einfachste Funktion, mit der ein progressiver Kostenverlauf modelliert werden kann, ist eine quadratische Funktion. Wenn wir davon ausgehen, dass die Erlöse (Verkaufspreis mal Menge) durch eine lineare Funktion beschrieben werden können, so tritt bei einem pro- gressiven Kostenverlauf das folgende Phänomen auf: Zunächst sind die Kosten, bedingt durch die Fixkosten, höher als der Erlös. Ab einer bestimmten Produktions- menge, die wir bereits als Break-Even-Point kennenge- lernt haben, werden die Erlöse größer als die Kosten, sodass man einen Gewinn erzielt. Da die Kosten aber immer stärker anwachsen, übertreffen sie die Erlöse wieder ab einer bestimmten Produktionsmenge, die man Gewinngrenze nennt. Liegt die Produktionsmenge zwischen Break-Even-Point und Gewinngrenze, so wird Gewinn erzielt, ansonsten macht man Verlust. Kostenfunktion Erlös Gewinn Break-Even- Point Mengeneinheit Geldeinheit x K(x) x K(x) x K(x) ME GE Break-Even-Point Gewinngrenze Gewinn Verlust Verlust K G E Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv