Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

58 Tipp Wir müssen dann die Koeffizienten a, b und c dieser quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c aus dem, was wir über die Funktion f wissen, bestimmen. Wenn wir die Funktionswerte von f zu drei Argumenten z 1 , z 2 , z 3 kennen, dann können wir a, b und c durch Lösen des Systems linearer Gleichungen mit drei Unbekannten a, b, c berechnen: I) z 1 2 a + z 1 b + c = f(z 1 ) II) z 2 2 a + z 2 b + c = f(z 2 ) III) z 3 2 a + z 3 b + c = f(z 3 ) 254 Berechne die quadratische Funktion, deren Graph die drei Punkte (‒1 1 10), (2 1 4) und (3 1 14) enthält. Da der Graph den Punkt (‒1 1 10) enthält, muss f(‒1) = 10 sein. Da er außerdem (2 1 4) und (3 1 14) enthält, muss auch f(2) = 4 und f(3) = 14 sein. Wir erhalten daraus die folgenden drei Gleichungen: I) (‒1) 2  a + (‒1)b + c = 10 II) 2 2 a + 2b + c = 4 III) 3 2 a + 3b + c = 14 Wir lösen dieses Gleichungssystem und erhalten: a = 3, b = ‒ 5, c = 2 Daher ist die gesuchte quadratische Funktion f mit f(x) = 3x 2 – 5x + 2. 255 Berechne die quadratische Funktion, deren Graph die gegebenen drei Punkte enthält. a. (0 1 ‒1), (1 1 2), (‒ 2 1 ‒1)   c. (2 1 1), (4 1 4), (5 1 4,75) b. (‒ 2 1 7), (0 1 1), (2 1 ‒1)    d. (‒ 2 1 12), (0 1 ‒1), (2 1 ‒ 6) 256 Berechne die quadratische Funktion f, deren Funktionswerte an drei Stellen vorgegeben sind. a. f(2) = 1, f(3) = ‒1, f(‒1) = 3    d. f(‒1) = 1, f(‒ 2) = ‒1, f(3) = 3 b. f(2) = 3, f(3) = ‒ 2, f(‒1) = 5    e. f(‒ 3) = 3, f(0) = 0, f(1) = ‒1 c. f(0) = 0, f(4) = 0, f(‒ 2) = 0    f. f(1) = 5, f(2) = 5, f(3) = 5 257 Verwende ein CAS, um jene quadratische Funktion zu bestimmen, deren Funktionswerte an den folgenden drei Stellen vorgegeben sind. a. f(0) = ‒ 3, f(4) = ‒11, f(‒1) = ‒ 6   c. f(1) = 2, f(‒1) = 1, f(3) = 19 b. f(0) = ‒ 4, f(6) = 2, f(‒ 3) = 2    d. f(‒1) = ‒  1 _ 2  , f(‒ 4) = ‒ 5, f(2) = ‒  1 _ 2 258 Beurteile, ob der Graph der Funktion f die Punkte (‒2 1 0), (2 1 ‒ 4) und (6 1 0) enthält. A f(x) = (x + 2)(x – 6) B f(x) = 1 _ 4 (x + 2)(x – 6) C f(x) = 1 _ 4 x 2 + x – 3 D f(x) = 1 _ 4 x 2 – x – 3 259 Verwende ein CAS, um jene quadratische Funktion zu bestimmen, deren Graph die gegebenen drei Punkte enthält. a. (‒1 1 ‒ 8), (0 1 ‒ 4) und (2 1 10) c. (‒ 3 1 ‒10), (1 1 ‒ 2) und (0,5 1 0,5) b. (‒ 2 1 7), (0 1 1) und 2 3 1 ‒  1 _ 2 3 d. (‒ 4 1 ‒1), (0 1 ‒ 5) und (5 1 1,25) 260 Der Graph einer quadratischen Funktion enthält den Punkt (1 1 3) und hat den Scheitel (3 1 5). Ermittle die quadratische Funktion f. Da der Graph von f den Scheitel (3 1 5) hat, ist f(x) = a·(x – 3) 2 + 5. Da der Funktionsgraph den Punkt (1 1 3) enthält, ist f(1) = 3 und somit 3 = a·(1 – 3) 3  + 5 = a·(‒ 2) 2 + 5 = 4a + 5. Daher ist a = ‒ 0,5. Also ist gesuchte Funktion f mit f(x) = ‒ 0,5(x – 3) 2  + 5 = ‒ 0,5x 2 + 3x + 0,5. eine quadratische Funktion berechnen, von deren Graphen drei Punkte bekannt sind A, B ggb/tns 89zy7z B , B , B , D , B , eine quadratische Funktion berechnen, von deren Graphen ein Punkt und der Scheitel bekannt sind A, B Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Nur A zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv