Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

57 3.3 Modellieren mit quadratischen Funktionen Ich lerne die Koeffizienten einer quadratischen Funktion zu berechnen, wenn ich drei Punkte ihres Graphen oder den Scheitel und einen weiteren Punkt des Graphen kenne. Ich lerne das Modell der quadratischen Funktion in unterschiedlichen Kontexten, insbeson- dere mit Wirtschaftsbezug, anzuwenden. Quadratische Funktionen finden Wenn wir einen kleinen Ball senkrecht in die Höhe werfen, dann steigt er zuerst schnell, wird dann langsamer, bleibt schließlich stehen und fällt dann immer schneller wieder nach unten. Der Graph der Funktion h: R ¥ R , die jedem Zeitpunkt (in Sekunden gemessen) die Höhe (in Metern) des Balles zuordnet, wird daher ungefähr so aussehen wie in der Abbildung rechts. Dieser Graph sieht aus wie der Graph einer quadratischen Funktion. Es liegt daher nahe, dass die Funktion h eine quadratische Funktion ist, also für alle x ist h(x) = ax 2 + bx + c für geeignete reelle Zahlen a, b und c. Wir entscheiden uns für diese Annahme und müssen nur noch die Koeffizienten von h bestimmen. Dazu müssen wir etwas über h wissen. Wenn wir die Höhe nach 0, 1 und 2 Sekunden zu 0 Meter, 15 Meter und 20 Meter gemessen haben, erhalten wir: für h(0): c = 0 für h(1): a + b + c = 15 für h(2): 4a + 2b + c = 20 Um die Zahlen a, b, c zu berechnen, lösen wir dieses System von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten und erhalten a = ‒ 5, b = 20 und c = 0,  also  h(x) = ‒ 5x 2 + 20x. Nun können wir die Höhe des Balles zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen. Nach drei Sekun- den befindet er sich in h(3) = ‒ 5·3 2  + 20·3 = 15  Meter Höhe. Wann ist er wieder am Boden? Dazu müssen wir eine Zahl z so finden, dass h(z) = 0 ist. Die Nullstellen von h mit h(x) = ‒ 5x 2  + 20x = ‒5x(x – 4) sind 0 und 4. Also ist der Ball nach 4 Sekunden wieder am Boden. Geometrisch hätten wir diese Aufgabe so formulieren können: In einem Koordinatensystem sind die drei Punkte (0 1 0), (1 1 15) und (2 1 20) gegeben. Die ersten Koordinaten der drei Punkte sind paarweise verschieden. Gesucht ist eine quadratische Funktion, deren Graph alle drei Punkte enthält. Wir haben uns zur Beschreibung des gegebenen Zusammenhangs für eine quadratische Funktion entschieden. Man sagt, dass wir für diese Situation ein quadratisches Modell gewählt haben. ggb t6x2dk x h(x) 0 s t S 3.3 Modellieren mit quadratischen Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv