Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

53 Größte oder kleinste Funktionswerte einer quadratischen Funktion Für f mit f(x) = ax 2 + bx + c = a(x – s) 2 + t ist f(s) = a(s – s) 2 + t = a·0 2 + t = t und für jede Zahl z ist f(z) = a(z – s) 2 + t = a(z – s) 2 + f(s). Wenn a positiv ist, dann ist a(z – s) 2 für alle Zahlen z positiv oder 0 (weil das Quadrat einer Zahl nie negativ sein kann). Das bedeutet: Der Funktionswert f(z) ist größer oder gleich f(s). Daher ist s das Argument mit dem kleinstmöglichen Funktions- wert bezüglich f. Wenn a negativ ist, dann ist a(z – s) 2 für alle Zahlen z negativ oder 0. Das bedeutet: Der Funktionswert f(z) ist kleiner oder gleich f(s). Daher ist s das Argument mit dem größtmöglichen Funktionswert bezüglich f. Die Funktionswerte der quadratischen Funktion f mit f(x) = a(x – s) 2 + t = ax 2 + bx + c sind alle… … kleiner oder gleich t, wenn a negativ ist. … größer oder gleich t, wenn a positiv ist. Anders formuliert: Wenn a negativ ist, hat die Funktion f den größten Funktionswert an der Stelle s. Wenn a positiv ist, hat die Funktion f den kleinsten Funktionswert an der Stelle s. 228 Das Auto von Frau Hofer braucht für 100km, die mit gleichbleibender Geschwindigkeit x km/h gefahren werden, 0,0005x 2 – 0,04x + 5 Liter Benzin. Zeichne den Graphen der Funktion f: [10; 150] ¥ R mit f(x) = 0,0005x 2 – 0,04x + 5 und berechne, bei welcher Geschwindigkeit der Benzinverbrauch am kleinsten ist. Interpretiere das Ergebnis. Es ist f(x) = 0,0005(x 2 – 80x + 10 000) = 0,0005(x – 40) 2 + 4,2. Der Scheitel des Graphen von f ist (40 1 4,2). Der Leitkoeffizient ist 0,0005 > 0, also ist der Benzinverbrauch bei 40 km/h am kleinsten. Die Funktion ist im Intervall [40; 150] streng monoton wachsend, daher steigt der Benzinverbrauch ab 40 km/h mit wachsender Geschwindigkeit. 229 Der Benzinverbrauch eines Kleinwagens auf 100km bei einer Geschwindigkeit von x km/h kann durch die Funktion b mit b(x) = 0,0008x 2 – 0,06x + 4,5 ermittelt werden. Dabei ist x * [10; 140]. a. Ermittle den Benzinverbrauch bei einer Geschwindigkeit von 100km/h. b. Berechne, bei welcher Geschwindigkeit der Benzinverbrauch am geringsten ist. 230 Eva möchte im Garten ein rechteckiges Beet anlegen, das sie mit Randsteinen begrenzen möchte. Sie hat Randsteine für 10m Rand gekauft und kann damit Rechtecke mit den Seitenlängen xm und (5 – x)m anlegen. Dabei ist x eine Zahl mit 0 < x < 5. Berechne, wie Eva die Zahl x wählen muss, damit der Flächeninhalt x(5 – x)m 2 des Beetes möglichst groß wird. 231 Die Flugbahn eines Balles kann durch den Graphen der Funktion h mit h(x) = ‒ 1 _ 25 x 2 + 22 _ 25 x beschrieben werden. Dabei wird der Ball im Punkt (0 1 0) abgeworfen und h(x) gibt die Höhe des Balles in Metern in einer horizontalen Entfernung von x Metern vom Abwurf- punkt an. Berechne, in welcher Entfernung vom Abwurfpunkt der Ball seine maximale Flughöhe erreicht und gib an, wie hoch diese ist. 232 Martin schießt zu Silvester eine Feuerwerksrakete ab. Ihre Flughöhe (in Meter) nach t Sekunden kann durch die Funktion h(t) = ‒5t 2 + 35t angegeben werden. Berechne, nach welcher Flugdauer die Rakete ihre maximale Höhe erreicht hat und wie hoch sie dabei gestiegen ist. y 0 x - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 3 - 2 -1 - 3 (s 1 t) s t Funktionswerte einer quadratischen Funktion ggb/tns v84nk6 eine Extremwert- aufgabe lösen A, B, C Geschwindigkeit in km/h Benzinverbr. in l/100km 30 10 50 70 110 130 150 90 0 2 4 6 8 10 (40 1 4,2) A, B , A, B , x h(x) A, B , A, B , 3.2 Quadratische Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv