Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

50 213 Gib die Funktion f mit f(x) = ax 2 + c an, deren Graph abgebildet ist. a. c. e. b. d. f. Die Scheitelform einer quadratischen Funktion Für alle reellen Zahlen s und t ist die Funktion f: R ¥ R mit f(x) = a(x – s) 2 + t eine quadratische Funktion, denn: a(x – s) 2 + t = ax 2 – 2asx + as 2 + t = a as)x + (as 2 also ist f die quadratische Funktion mit den Koeffizienten a, b = ‒ as und c = as 2 + t. Umgekehrt können wir jede quadratische Funktion f mit f(x) = ax + bx + c so darstellen: Wir wählen dazu s und t so, dass b = ‒ s und c = a + t ist. Also: s = ‒b _ 2a  und t = c ‒  b 2 _ 4a Die Darstellung einer quadratischen Funktion f mit f x 2 + bx + c als f mit f(x) = a(x – s) 2 heißt ihre Scheitelform Der Punkt (s 1 t) liegt dann auf dem Graphen der quadratischen Funktion f und heißt Scheitel . Anstatt „Scheitel des Graphen von f“ sagen wir oft kurz „Scheitel von f“. Wenn a und s reelle Zahlen sind, dann ist der Graph der Funktion f mit f(x) = a(x – s) die Menge {(x 1 a(x – s) Schreiben wir z für x – s, dann ist x = z + s und {(x 1 a(x – s) * R } = {(z + s 1 az 2 ) ‡ z * R }. Das bedeutet: Den Graphen der Funktion f mit f(x) = a(x – s) 2 erhalten wir, indem wir den Graphen von h mit h(x) = ax 2 so verschieben, dass der Punkt (0 1 0) in den Punkt (s 1 0) verschoben wird. Damit können wir den Graphen jeder quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c zeichnen: ƒ Zuerst schreiben wir f in Scheitelform an, das heißt, wir berechnen Zahlen s und t so, dass f(x) = a(x – s) 2 + t ist. ƒ Dann zeichnen wir den Graphen von h mit h(x) = ax 2 . ƒ Schließlich verschieben wir diesen so, dass der Punkt (0 1 0) in den Scheitel (s 1 t) verschoben wird. A ; y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 2 1 2 3 ggb ya8m7k Scheitelform Scheitel x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 7 f(x) = (x + 2) 2 f(x) = (x – 2) 2 Graph einer quadratischen Funktion Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Nur zu Prüfzwecken x 2  + (‒ 2 2a + t . – - -1 Eigentum 2 2 ) ‡ x * R }. 2 ) ‡ x des Verlags + t), 2 2 s 2 (x) = a öbv