Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

47 Betrachten wir dazu das nebenstehende Bild: Zwar ist es naheliegend, die Punkte (1 1 1) und (3 1 9) „direkt“ zu verbinden (durchgezogene Linie), aber auch ein anderer Verlauf des Gra- phen von g zwischen diesen beiden Punkten ist denkbar (gestri- chelte Linie). Um den Graphen von g zeichnen zu können, überlegen wir uns, ob wir Eigenschaften der Funktion finden können, die etwas über das „Aussehen“ ihres Graphen aussagen. Für zwei beliebige positive Zahlen a und b mit a < b folgt aus a < b, dass a·a < a·b und a·b < b·b ist. Daher ist g(a) = a 2 < b 2 = g(b). Wir nennen eine Funktion f von R nach R auf einer Teilmenge M von R streng monoton wachsend , wenn für alle Zahlen a, b in M aus a < b folgt, dass auch f(a) < f(b) ist. Wir haben oben gezeigt, dass die Funktion g mit g(x) = x 2 auf der Halbgeraden R + streng monoton wachsend ist. Ist das auf der Halbgeraden R – auch so? Wenn a und b beliebige negative Zahlen sind und a < b ist, folgt aus a < b, dass a·a > a·b und a·b > b·b ist. Daher ist g(a) = a 2 > b 2 = g(b). Wir nennen eine Funktion f von R nach R auf einer Teilmenge M von R streng monoton fallend , wenn für alle Zahlen a, b in M aus a < b folgt, dass f(a) > f(b) ist. Die Funktion g mit g(x) = x 2 ist auf der Halbgeraden R ‒  streng monoton fallend. Damit erhalten wir schon ein recht gutes Bild des Graphen von g. Wir können zum Zeichnen auch benutzen, dass für alle Zahlen x die Funktionswerte von x und ‒ x bezüglich g, also die Quadrate von x  und von ‒ x, gleich sind. Wir haben zum Zeichnen des Graphen von g noch eine andere Eigenschaft verwendet: Man kann den Graphen dieser Funktion „in einem Zug, ohne abzusetzen“ mit einem Bleistift zeichnen. 198 Zeige, dass die Funktion f mit f(x) = 3x + 1 auf R streng monoton wachsend ist. Mit a und b bezeichnen wir zwei reelle Zahlen, für die a < b gilt. Wir müssen zeigen, dass f(a) < f(b) ist. a < b | ·3 3a < 3b | + 1 3a + 1 < 3b + 1 Also ist f(a) = 3a + 1 < 3b + 1 = f(b). Daher ist die Funktion f auf R streng monoton wachsend. 199 Zeige, dass die lineare Funktion f mit f(x) = 5x – 4 auf R streng monoton wachsend ist. 200 Zeige, dass die lineare Funktion f mit f(x) = ‒ 2x + 1 auf R streng monoton fallend ist. 201 Wie kann man aus der Änderungsrate k einer linearen Funktion erkennen, ob diese Funktion streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist? Begründe. 202 Zeichne mithilfe eines CAS den Graphen der Funktion f. Gib anschließend alle Intervalle an, auf denen die Funktion f streng monoton wachsend ist. a. f(x) = 0,1x 3 – 0,3x 2 – 2,4x + 2 b. f(x) = 1 _ 40 x 4 – 1 _ 15 x 3 – 11 _ 20 x 2 + 6 _ 5 x + 1 0 x y 1 -1 - 2 2 3 5 6 7 8 9 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 (- 2 1 4) (2 1 4) (3 1 9) (1 1 1) (0 1 0) (-1 1 1) streng monoton wachsend x -3 -2 -1 1 2 3 y 1 2 3 4 5 6 0 -1 streng monoton fallend streng monoton wachsend g streng monoton fallend D zeigen, dass eine Funktion streng monoton wachsend ist D , D , D ; B, C , 3.2 Quadratische Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv