Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

46 3.2 Quadratische Funktionen Ich lerne quadratische Funktionen kennen und in Scheitelform darzustellen. Ich lerne den Graphen einer quadratischen Funktion zu zeichnen. Ich lerne aus den Koeffizienten einer quadratischen Funktion Eigenschaften ihres Graphen abzulesen. Ich lerne die Nullstellen einer quadratischen Funktion durch Lösen einer quadratischen Gleichung zu bestimmen. Ich lerne den Zusammenhang zwischen der Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung und den Nullstellen einer quadratischen Funktion zu interpretieren und damit zu argumentieren. In der Beschreibung der technischen Daten ihres neuen Autos liest Frau Hofer, dass dieses bei einer Geschwindigkeit von x km/h für 100 gleichmäßig gefahrene Kilometer ungefähr 0,0005x 2 – 0,04x + 5 Liter Benzin verbraucht. (Diese technische Angabe gilt allerdings nur für Geschwindigkeiten, die größer als etwa 10 km/h sind.) Jeder Geschwindigkeit (zwischen 10 km/h und 150 km/h) wird der Benzinverbrauch (in Litern) zugeordnet. Dieser Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Benzinverbrauch wird durch die Funktion f: [10; 150] ¥ R mit f(x) = 0,0005x 2 – 0,04x + 5 beschrieben. Da wir f(x) für jede Zahl x berechnen können, können wir auch annehmen, dass diese Funktion auf ganz R definiert ist. Bei der Berechnung von f(x) muss das Quadrat (aber keine höhere Potenz) von x berechnet werden. Daher nennt man f eine quadratische Funktion . Eine quadratische Funktion ist eine Funktion f: R ¥ R mit f(x) = ax 2 + bx + c, dabei sind a, b, c reelle Zahlen und a ≠ 0. Diese drei Zahlen heißen Koeffizienten der quadratischen Funktion f. Der Koeffizient a heißt Leitkoeffizient von f. Beispiel: f: R ¥ R mit f(x) = 3x 2 + 2x + 1 ist eine quadratische Funktion mit Leitkoeffizient 3. Der Graph der Funktion g mit g(x) = x 2 Die Funktion g: R ¥ R mit g(x) = x 2 ordnet jeder Zahl ihr Quadrat zu. Sie ist eine quadratische Funktion mit den Koeffizienten a = 1, b = 0 und c = 0. Ihr Graph ist die Menge {(x 1 x 2 ) ‡ x * R }. Der Graph einer linearen Funktion war eine Gerade, der Graph von g ist aber keine Gerade. Wir überlegen uns nun, wie man diesen Graphen zeichnet. Wenn wir eine Wertetabelle von g erstellen, können wir mit den berechneten Zahlenpaaren einzelne Punkte des Graphen von g in einem Koordinatensystem zeichnen. Welche Punkte aber zwischen zwei bekannten Punkten des Graphen liegen, können wir vorerst nur vermuten. quadratische Funktion x g(x) ‒ 2 4 ‒1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv