Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

41 162 Ergänze eine geeignete Zahl, sodass die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat. a. x 2 + 12x + ____ = 0 c. x 2 – 13x + ____ = 0 e. 3x 2 – 21x + ____ = 0 b. x 2 – 14x + ____ = 0 d. 2x 2 – 8x + ____ = 0 f. 5x 2 – 11x + ____ = 0 163 Gib an, für welche Zahl t die Gleichung x 2 – 7x + t = 0 genau eine Lösung besitzt. 164 Bestimme eine Zahl a ≠ 0 so, dass die Gleichung ax 2 – 3 _ 2 x + 9 _ 4 = 0 genau eine Lösung hat. 165 Ermittle die Zahl b so, dass die Gleichung 3x 2 + bx + 0,75 = 0 genau eine Lösung hat. 166 Kreuze an, welche Aussagen für die Gleichung x 2 + 2x + c = 0 stimmen. A Wenn c < 1 ist, dann hat die Gleichung keine Lösung. B Wenn c = 1 ist, dann hat die Gleichung genau eine Lösung. C Wenn c > 1 ist, dann hat die Gleichung 2 Lösungen. D Wenn c ª 1 ist, dann hat die Gleichung Lösungen. 167 Begründe mithilfe der „großen Lösungsformel“: Die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0hat genau dann mindestens eine Lösung, wenn b 2 º 4ac ist. Komplexe Zahlen und komplexe Lösungen quadratischer Gleichungen Da es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist, können wir die Aufgabe „Finde eine Zahl x mit x 2  = ‒1“ nicht lösen. Es gibt aber eine Möglichkeit, trotzdem eine Lösung  zu finden, allerdings kann diese keine reelle Zahl sein. Wir definieren dazu einen größeren „Zahl- bereich“: Wir schreiben für ein Paar (a, b) von reellen Zahlen a + bi und nennen das Zahlenpaar dann eine komplexe Zahl . Für die Menge der komplexen Zahlen schreiben wir C . Statt (0, 1) bzw. 0 + 1i schreiben wir einfach i und statt 1 + 0i einfach 1. Wir definieren nun für komplexe Zahlen die Rechenoperationen Addition und Multiplikation so, dass i·i = ‒1 ist und alle Rechenregeln, die wir für reelle Zahlen (zum Beispiel, dass man ausmul- tiplizieren und herausheben kann) kennen, auch für komplexe Zahlen gelten: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)·(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i Nach Wahl eines Koordinatensystems können wir komplexe Zahlen als Punkte der Ebene darstellen. Wir nennen die Ebene dann Gaußsche Zahlenebene . Wir fassen die erste Koordinatenachse als Zahlengerade auf und betrachten so jede reelle Zahl a als komplexe Zahl: a + 0·i = a. Nun können wir in C immer Lösungen für quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten angeben. Sind p und q reelle Zahlen, so hat die quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 genau dann keine reelle Zahl als Lösung, wenn die Diskriminante p 2 _ 4 – q < 0 ist. In diesem Fall ist aber p 2 _ 4 – q das Quadrat der komplexen Zahl 9 ____ ‒  p 2 _ 4 + q ·i. Die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0 in C (mit p, q * R ) sind x 1, 2  = ‒  p _ 2 ± 9 ___ p 2 _ 4 – q falls p 2 _ 4 – q º 0 ist und x 1, 2  = ‒  p _ 2 ± 9 ____ ‒  p 2 _ 4 + q·i falls p 2 _ 4 – q < 0 ist. A, B , B, C , B, C ; B, C ; D ; D , komplexe Zahlen 1 -1 a i b 0 a + ib (0 1 1) Gaußsche Zahlenebene Lösungen einer quadratischen Gleichung in C 3.1 Quadratische Gleichungen Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv