Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

40 Anzahl der reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung Die Zahl D = p 2 _ 4  ‒ q heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0. Aus der Diskriminante kann man ablesen, wie viele reelle Lösungen diese quadratische Gleichung besitzt. ƒ Wenn D < 0 ist, dann gibt es keine reelle Lösung. ƒ Wenn D = 0 ist, dann ist ‒  p _ 2 die einzige reelle Lösung. ƒ Wenn D > 0 ist, dann gibt es zwei reelle Lösungen , nämlich x 1, 2  = ‒  p _ 2 ± 9 _ D. 157 Gib an, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat. Begründe. a. x 2 – 8x + 16 = 0 b. 3x 2 + 4x + 13 = 0 a. Die Diskriminante ist D =  (‒8)  2 _ 4  ‒ 16 = 0. Die Gleichung hat genau eine Lösung, da ihre Diskriminante 0 ist. b. Wir formen 3x 2 + 4 x + 13 = 0 zu x 2 + 4 _ 3 x + 13 _ 3 = 0 um. Die Diskriminante ist D = 2 4 _ 3 3 2 _ 4 – 13 _ 3  = ‒  35 _ 9 < 0. Die Gleichung hat keine Lösung, da ihre Diskriminante kleiner als 0 ist. 158 Gib an, wie viele Lösungen (keine, eine oder zwei) die quadratische Gleichung hat. a. x 2 – 7 = 0 c. x 2 + 5 = 0 e. x 2 + x – 7 = 0 g. x 2 + 5x – 5 = 0 b. x 2 – 25 = 0 d. x 2 + 16 = 0 f. x 2 – x – 25 = 0 h. x 2 + 5x + 16 = 0 159 Gib an, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat. Begründe. a. 3x 2 + x = 0 d. y 2 – 2y + 1 = 0 g. 1 _ 4 z 2 – 1 _ 2 z – 3 = 0 b. 4x 2 – 1 _ 2 x = 0 e. 2y 2 – y + 5 = 0 h. 10 2 z 2 + 10 – 3z + 10 3 = 0 c. 2x 2 + 3x + 1 = 0 f. 1 _ 2 y 2 + 1 _ 4 y + 1 _ 2 = 0 i. 10 ‒2 z 2 + 1 _ 10 z – 10 2 = 0 160 Entscheide, ob die Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat. a. 32s 2 + 45s + 6 = 0 c. 17t 2 – t – 2 = 0 e. 17u 2 – u + 2 = 0 b. 3s 2 + 2s – 2 = 0 d. 2t 2 + 6t + 11 = 0 f.  ‒ 5u 2 + 4u + 5 = 0 161 Bestimme die Zahl a so, dass die Gleichung ax 2 – 5 _ 2 x + 25 _ 4 = 0 genau eine Lösung hat. Dabei ist a nicht 0. Eine quadratische Gleichung hat genau dann genau eine Lösung, wenn ihre Diskriminante gleich 0 ist. Wir dividieren die Gleichung durch a und erhalten: x 2 – 5 _ 2a x + 25 _ 4a = 0 Die Diskriminante ist also 2 ‒  5 _ 2a 3 2 _ 4 – 25 _ 4a = 25 _ 16a 2 – 25 _ 4a . Wir müssen also die folgende Gleichung lösen: 25 _ 16a 2 – 25 _ 4a = 0 | ·16a 2 25 – 100a = 0 | + 100a 25 = 100a | : 100 a = 1 _ 4 Diskriminante Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmen C, D C : C, D , B, C , ggb/tns 2848k5 B Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv