Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

37 Wir verwenden oft die Kurzschreibweise „Löse die Gleichung ax 2 + bx + c = 0“. Dabei kann statt x auch jedes andere Symbol gewählt werden. Tipp Weil a nicht 0 ist, können wir alle Koeffizienten durch a dividieren und dann ist jede Lösung von ax 2 + bx + c = 0 auch eine Lösung von x 2 + b _ a x + c _ a = 0 und umgekehrt. Um die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 zu lösen, formen wir sie zuerst zu x 2 + px + q = 0 (dabei ist p = b _ a und q = c _ a ) um. Dann führen wir folgende Umformungen durch: x 2 + px + q = 0 | – q x 2  + px = ‒q  | +   2 p _ 2 3 2 x 2 + px + 2 p _ 2 3 2  = ‒q +   2 p _ 2 3 2 | binomische Formel 2 x + p _ 2 3 2  = ‒q +   2 p _ 2 3 2 2 x + p _ 2 3 2 = p 2 _ 4 – q Wenn p 2 _ 4 – q < 0 ist, gibt es keine Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann. Wenn p 2 _ 4 – q º 0 ist, können wir die Wurzel ziehen: x + p _ 2 = + 9 ___ p 2 _ 4 – q oder x + p _ 2  = ‒  9 ___ p 2 _ 4 – q. In diesem Fall gibt es daher zwei Lösungen: x 1  = ‒  p _ 2 + 9 ___ p 2 _ 4 – q und x 2  = ‒  p _ 2 – 9 ___ p 2 _ 4 – q. Da x 2 + px dabei durch Addition von 2 p _ 2 3 2 zum Quadrat 2 x + p _ 2 3 2 ergänzt wird, nennt man diese Umformung quadratisches Ergänzen. Dieses Ergebnis wird als „ kleine Lösungsformel für quadratische Gleichungen“ so formuliert: Wenn p 2 _ 4 – q º 0 ist, dann hat die Gleichung x 2 + px + q = 0 die Lösungen x 1  = ‒  p _ 2 + 9 ___ p 2 _ 4 – q und x 2  = ‒  p _ 2 – 9 ___ p 2 _ 4 – q. Wir schreiben dafür kurz: x 1, 2  = ‒  p _ 2 ± 9 ___ p 2 _ 4 – q . Tipp Wer die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 nicht durch a dividieren möchte, kann in den Lösungen ‒ p _ 2 ± 9 ___ p 2 _ 4 – q von ax 2 + px + q = 0 die Zahlen p und q durch b _ a und c _ a ersetzen und erhält nach Umformungen die „ große Lösungsformel“ : Wenn b 2 – 4ac º 0 ist, dann hat die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 die Lösungen x 1, 2 = ‒b ±   9 _____ b 2  ‒ 4ac __ 2a . GeoGebra Löse[ <Gleichung> , <Variable> ] TI Nspire solve( Gleichung , Var ) quadratisches Ergänzen kleine Lösungsformel große Lösungsformel eine Gleichung lösen ggb/tns 3zv8m4 3.1 Quadratische Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv