Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

36 3.1 Quadratische Gleichungen Ich lerne quadratische Gleichungen zu lösen. Ich lerne zu entscheiden, ob eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen hat, und ich lerne diese Entscheidung zu begründen. Ich lerne Textaufgaben zu lösen, die auf quadratische Gleichungen führen. Ich lerne komplexe Lösungen einer quadratischen Gleichung zu bestimmen. Quadratische Gleichungen lösen Herr Gruber zahlt 10000€ auf ein Sparbuch ein, zahlt nach einem Jahr noch weitere 60000€ ein und lässt dieses Kapital samt Zinsen für das erste Jahr dann noch ein zwei- tes Jahr liegen. Er vereinbart mit der Bank, dass er pro Jahr denselben Zinssatz p% bekommt. Die Bank bietet an, Herrn Gruber zu Beginn des dritten Jahres 71 604€ auszuzahlen. Herr Gruber möchte wissen, welchem jährlichen Zinssatz dieses Angebot entspricht. Schreiben wir q für den „Aufzinsungsfaktor“ 1 + p _ 100 , dann beträgt Herrn Grubers Kapital nach einem Jahr 10000q und nach einem weiteren Jahr (10000q + 60000)q€. Herr Gruber weiß also, dass 10000q 2 + 60000q = 71 604 ist. Zur Vereinfachung dividiert er auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durch 10000 und erhält q 2 + 6q = 7,1604. Erinnern wir uns an die binomischen Formeln: Es ist q 2 + 6q + 9 = (q + 3) 2 . Wir addieren deshalb auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 9. q 2 + 6q = 7,1604 | + 9 q 2 + 6q + 9 = 16,1604 | binomische Formel (q + 3) 2 = 16,1604 Weil 16,1 604 eine positive Zahl ist, können wir daraus die Wurzel ziehen: 9 ____ 16,1604 = 4,02. Beachte, dass auch (‒4,02) 2 = 16,1604 ist. Daher ist q + 3 = 4,02 oder q + 3 = ‒ 4,02. Daraus folgt q = 1,02    oder q = ‒7,04. Da für den Aufzinsungsfaktor q nur positive Zahlen in Frage kommen, muss q = 1,02 sein. Wegen 1,02 = 1 + 2 _ 100 ist der jährliche Zinssatz p% = 2%. Die Aufgabe, die Herr Gruber gelöst hat, nennt man eine quadratische Gleichung . Eine quadratische Gleichung  ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind drei Zahlen a, b, c mit a ≠ 0,  sie heißen die Koeffizienten der Gleichung. Gesucht sind alle Zahlen x mit der Eigenschaft ax 2 + bx + c = 0. Diese Zahlen heißen Lösungen der quadratischen Gleichung. Die Menge aller Lösungen der Gleichung heißt Lösungsmenge . quadratische Gleichung Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen Nur zu Prüfzwecken K – Eigentum des Verlags öbv