Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

33 Zusammenfassung Gegeben sind drei reelle Zahlen a, b, c, dabei sind nicht sowohl a als auch b gleich 0. Die Aufgabe „Beschreibe die Menge aller Zahlenpaare (x, y) mit ax + by ª c (oder mit ax + by º c)“ nennen wir eine lineare Ungleichung mit zwei Unbekannten . Die gesuchte Menge heißt dann Lösungsmenge der Ungleichung. Die Lösungsmenge der linearen Ungleichung ax + by ª c ist eine der zwei Halbebenen , die durch die Lösungsmenge der linearen Gleichung ax + by = c getrennt werden. Diese Gerade heißt Rand der Lösungsmenge. Um zu entscheiden, welche der beiden Halbebenen die Lösungsmenge der Ungleichung ist, wäh- len wir ein Zahlenpaar (m, n), das nicht auf der Geraden liegt. Wenn (m, n) Lösung der Unglei- chung ist, dann ist die Lösungsmenge der Ungleichung die Halbebene, die (m, n) enthält. Sonst ist es die andere. Wenn wir die Menge aller Zahlenpaare bestimmen, die mehrere lineare Ungleichungen mit denselben zwei Unbekannten erfüllen, lösen wir ein lineares Ungleichungssystem mit zwei Unbekannten . Die Lösungsmenge des Systems von linearen Ungleichungen ist dann der Durch- schnitt aller Lösungsmengen der einzelnen Ungleichungen. Eine lineare Optimierungsaufgabe mit zwei Unbekannten ist durch ein lineares Ungleichungssys- tem mit zwei Unbekannten und durch eine homogene lineare Funktion Z von R 2 nach R gege- ben. Die Funktion Z heißt Zielfunktion , die Lösungsmenge des Ungleichungssystems heißt zuläs- siger Bereich . Gesucht ist ein optimaler Punkt , das ist ein Zahlenpaar im zulässigen Bereich, dessen Funktions- wert bezüglich Z möglichst groß oder möglichst klein sein soll. Wenn er möglichst groß sein soll, sprechen wir von einer Maximumaufgabe , wenn er möglichst klein sein soll, von einer Minimum- aufgabe . Ist Z(x, y) = ax + by, dann ist die Menge aller Punkte (x, y) mit Z(x, y) = c die Lösungsmenge der Gleichung ax + by = c, also eine Gerade. Sie heißt Niveaulinie von Z zum Funktionswert c. Wir können einen optimalen Punkt einer linearen Optimierungsaufgabe mit zwei Unbekannten wie folgt finden: 1. Wir wählen ein Koordinatensystem und zeichnen den zulässigen Bereich ein. 2. Wir zeichnen die Niveaulinie der Zielfunktion zum Funktionswert 0 ein. 3. Wir verschieben diese Gerade parallel so, dass der Funktionswert der Punkte auf der Geraden zunimmt (bei einer Maximumaufgabe) oder abnimmt (bei einer Minimumaufgabe) und Punk- te des zulässigen Bereichs auf der Geraden liegen. Wir machen das so lange wie möglich. Die Punkte, die am Ende noch auf der Geraden liegen, sind optimale Punkte. Häufig ist das nur ein einziger Punkt. lineare Ungleichung mit zwei Unbekannten lineares Ungleichungs- system mit zwei Unbekannten lineare Optimierung Zusammenfassung: Lineare Optimierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum W des Verlags öbv