Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

31 127 Für einen Werbespot benötigt eine Firma bunte Matchboxautos. Es werden mindestens 52 rote, 74 blaue und 28gelbe Autos benötigt. Diese Autos kann man nur in folgenden Sets kaufen: Set A enthält 8 rote, 6 blaue und 2gelbe Autos und kostet 8€. Set B enthält 4 rote, 8 blaue und 6gelbe Autos und kostet 9€. Ermittle, wie viel man von den einzelnen Sets jeweils kaufen muss, um möglichst kostengünstig die erforderliche Anzahl von Autos zu erhalten. Kauft man x Stück von Set A und y Stück von Set B, so muss (x, y) die folgenden Bedingungen erfüllen: I) 8x + 4y º 52 II) 6x + 8y º 74 III) 2x + 6y º 28 IV) x º 0 V) y º 0 Das Ziel ist es, die Kosten zu minimieren. Da die Kosten für x Stück von Set A und y Stück von Set B x·8€ + y·9€ betragen (es gibt also keinen Mengenrabatt!), ist die Zielfunktion Z mit Z(x, y) = 8x + 9y. Wir zeichnen den zulässigen Bereich sowie die Niveaulinie von Z zum Funktionswert 0 in ein Koordinatensystem. Wir verschieben diese Niveaulinie so lange nach oben, bis wir einen Punkt des zulässigen Bereichs erreichen. Ver- schieben wir weiter nach oben, werden die Funktionswerte von Z größer. Daher ist der optimale Punkt der erste erreichte Punkt des zulässigen Bereichs. Er ist der Schnittpunkt der Ränder der Lösungsmengen von I und II. Seine Koordina- ten erhalten wir als Lösung des Gleichungs- systems I) 8x + 4y = 52 II) 6x + 8y = 74 x = 3, y = 7 Es müssen 3 Stück von Set A und 7 Stück von Set B gekauft werden. Die minimalen Kosten betra- gen dabei 8·3 + 9·7 = 89€. 128 Die Schule benötigt neue Whiteboard-Marker. Es werden mindestens 33 schwarze, 17 blaue und 11 rote Stifte benötigt. Diese Stifte werden nur in zwei verschiedenen Sets geliefert: Set A enthält 5 schwarze, 3 blaue und einen roten Stift. Set B enthält 4 schwarze, 2 blaue und 3 rote Stifte. Beide Sets kosten je 8€. a. Ermittle, wie viel Stück von Set A und von Set B gekauft werden sollen, damit die Anschaffungskosten möglichst gering sind. b. Berechne die minimalen Anschaffungskosten. c. Ermittle, wie viel Stück man von den einzelnen Stiften hat. d. Man könnte die Stifte auch einzeln beziehen. In diesem Fall zahlt man pro Stift 1€. Begründe, ob man die Stifte lieber einzeln kaufen sollte, oder in den angebotenen Sets. eine Minimum- aufgabe lösen A, B 0 2 4 6 8 10 12 14 10 8 12 14 6 4 2 0 Stück von Set A Stück von Set B II III I Z(x, y) = min Z(x, y) = 0 P opt , A, B, D 2.2 Lineare Optimierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv