Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

29 121 Ein Textilerzeuger erzeugt Hosen und Jacken. Die Produktion erfolgt dabei in den drei Arbeits- schritten „Zuschnitt“, „Nähen“ und „Endfertigung“, die in drei verschiedenen Abteilungen vorge- nommen werden. Die für die einzelnen Arbeitsschritte nötigen Zeiten und die in den Abteilungen noch frei verfügbaren Zeiten sind in der Tabelle angeführt. benötigte Zeit in Minuten verfügbare Zeit in Minuten Hose Jacke Zuschnitt 4 6 350 Nähen 7 3 350 Endfertigung 1 4 200 Jede Hose bringt im Verkauf 20€, jede Jacke 24€ Gewinn. a. Ermittle, wie viele Hosen und Jacken gefertigt werden müssen, damit der Gewinn maximal wird, und berechne den Gewinn. b. Berechne, wie viele Minuten in den einzelnen Abteilungen für diesen Auftrag benötigt werden. a. Wir bezeichnen die Anzahl der zu produzierenden Hosen mit x und die Anzahl der Jacken mit y. Aus der Tabelle ergeben sich die folgenden Bedingungen I, II und III. Die Bedingungen IV und V kommen daher, dass nur positive Stückzahlen in Frage kommen. I) 4x + 6y ª 350 II) 7x + 3y ª 350 III) x + 4y ª 200 IV) x º 0 V) y º 0 Das Ziel ist es, einen möglichst großen Gewinn zu erzielen. Wir nehmen an, dass der Gewinn für x Hosen und y Jacken x·20€ + y·24€ beträgt, daher ist die Zielfunktion Z mit Z(x, y) = 20x + 24y. Wir zeichnen den zulässigen Bereich sowie die Niveaulinie von Z zum Funktionswert 0 in ein Koordinatensystem und verschieben anschließend diese Niveaulinie so lange nach oben, bis wir schließlich den letzten Punkt des zulässigen Bereichs erreichen. Dieser optimale Punkt ist der Schnittpunkt der Ränder der Lösungsmengen von I und II. Seine Koordinaten erhalten wir als Lösung des Gleichungssystems I) 4x + 6y = 350 II) 7x + 3y = 350 x = 35, y = 35 Es müssen 35 Hosen und 35 Jacken hergestellt werden, um den maximalen Gewinn zu erzie- len. Der maximale Gewinn ist 35·20 + 35·24 = 1 540€. b. In der Abteilung „Zuschnitt“ werden 4·35 + 6·35 = 350 Minuten gebraucht, in der Abteilung „Nähen“ 7·35 + 3·35 = 350 Minuten und in der Abteilung „Endfertigung“ 1·35 + 4·35 = 175 Minuten. Somit werden in den ersten beiden Abteilungen alle zur Verfügung stehenden Minuten benötigt, während in der dritten Abteilung noch 25 Minuten übrigbleiben. ggb/tns 3dr2jb eine Maximum- aufgabe lösen A, B 0 10 20 30 40 50 60 50 40 60 30 20 10 0 Anzahl der Hosen Anzahl der Jacken II III I Z(x, y) = max Z(x, y) = 0 P opt 2.2 Lineare Optimierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv