Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

27 2.2 Lineare Optimierung Ich lerne Probleme aus Alltag und Wirtschaft durch lineare Optimierungsaufgaben mit zwei Unbekannten zu modellieren, solche Modellierungen kritisch zu beurteilen und graphisch zu lösen. Im letzten Abschnitt haben wir einer Firma, die aus drei Rohstoffen R 1 , R 2 und R 3 zwei Produkte A und B herstellt und von jedem Rohstoff den in der Tabelle angegebenen Vorrat hat, einen guten Überblick über die Möglichkeiten für die Produktion mit dem vorhandenen Rohstoffvorrat ver- schafft. Rohstoff Bedarf für A Bedarf für B Vorrat R 1 2 kg 1 kg 120 kg R 2 4 kg 5 kg 338 kg R 3 1 kg 4 kg 200 kg Die Produktionsleitung stellt eine weitere Frage: Der Gewinn für ein Stück von A beträgt 20€ und der für ein Stück von B 30€. Wie viel Stück von A und wie viel Stück von B sollten herge- stellt werden, sodass einerseits die Vorräte reichen und ande- rerseits der Gewinn maximal wird? Können wir sagen, welchen Gewinn die Herstellung von zum Beispiel 7 Stück A ergibt? Vielleicht 7·20€, vielleicht aber auch nicht. Jede Firma weiß, dass sich der Gewinn in der Regel nicht verdoppelt, wenn sie ihre Produk- tion verdoppelt. Wenn der Markt mit einem Produkt „überschwemmt“ wird, verfällt der Preis. Wenn aber der Absatz der Produkte von vorneherein gesichert ist, kann man annehmen, dass der Gewinn der Firma bei der Produktion von x Stück von A und y Stück von B gleich 20x + 30y€ ist. Eine Funktion Z von R 2 nach R ist homogen linear , wenn für alle Zahlenpaare (x, y) gilt: Z(x, y) = ax + by, dabei sind a und b vorgegebene reelle Zahlen. Eine lineare Optimierungsaufgabe mit zwei Unbekannten ist durch ein lineares Ungleichungs- system mit zwei Unbekannten und durch eine homogene lineare Funktion Z von R 2 nach R gege- ben. Die Funktion Z heißt Zielfunktion , die Lösungsmenge des Ungleichungssystems heißt zulässiger Bereich . Gesucht ist ein optimaler Punkt , das ist ein Zahlenpaar im zulässigen Bereich, dessen Funktions- wert bezüglich Z möglichst groß oder möglichst klein sein soll. Wenn er möglichst groß sein soll, sprechen wir von einer Maximumaufgabe , wenn er möglichst klein sein soll, von einer Minimum- aufgabe . Ist Z(x, y) = ax + by, dann ist die Menge aller Punkte (x, y) mit Z(x, y) = c die Lösungsmenge der Gleichung ax + by = c, also eine Gerade. Sie heißt Niveaulinie von Z zum Funktionswert c. GeoGebra Zeichnet man zuerst die Niveaulinie von Z zum Niveau 0, so lässt sich diese Gerade anschließend mit der gedrück- ten linken Maustaste parallel verschieben. Oder man erstellt für c einen Schieberegler. ¥ ¥ homogene lineare Funktion lineare Optimierungsaufgabe Zielfunktion zulässiger Bereich optimaler Punkt Maximumaufgabe Minimumaufgabe Niveaulinie die Niveaulinie zeichnen ggb k258bm 2.2 Lineare Optimierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv