Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

22 Graphisches Lösen eines linearen Ungleichungssystems mit zwei Unbekannten Eine Firma stellt aus drei Rohstoffen R 1 , R 2 und R 3 zwei Produkte A und B her. Der Bedarf an Roh- stoffen für die Herstellung einer Einheit von A bzw. von B ist in der folgenden Tabelle dargestellt. Von jedem Rohstoff hat die Firma einen Vorrat. Die Produktionsleitung fragt, wie viele Einheiten von A und von B mit diesem Vorrat produziert werden könnten. Rohstoff Bedarf für A Bedarf für B Vorrat R 1 2 kg 1 kg 120 kg R 2 4 kg 5 kg 338 kg R 3 1 kg 4 kg 200 kg Mithilfe der Tabelle überlegen wir: Wenn die Firma x Stück von A und y Stück von B produziert, braucht sie 2x + y kg von Rohstoff R 1 , 4x + 5y kg von Rohstoff R 2 und x + 4y kg von Rohstoff R 3 . Da nur 120 kg von Rohstoff R 1 , 338 kg von Rohstoff R 2 und 200 kg von Rohstoff R 3 vorhanden sind, muss das Zahlenpaar (x, y) die folgenden Bedingungen erfüllen: I) 2x + y ª 120 II) 4x + 5y ª 338 III) x + 4y ª 200 Da x und y Stückzahlen sind, muss zusätzlich noch gelten: IV) x º 0 V) y º 0 Die fünf Ungleichungen I) bis V) nennen wir ein lineares Ungleichungssystem mit zwei Unbekannten. Wenn wir die Menge aller Zahlenpaare bestimmen, die mehrere lineare Ungleichungen mit denselben zwei Unbekannten erfüllen, lösen wir ein lineares Ungleichungssystem mit zwei Unbekannten . Die Lösungsmenge des Systems von linearen Ungleichungen ist dann der Durch- schnitt aller Lösungsmengen der einzelnen Ungleichungen. Die Lösungsmenge lässt sich graphisch leicht ermitteln. Wir zeichnen die den einzelnen Unglei- chungen entsprechenden Halbebenen ein und schraffieren deren Durchschnitt. GeoGebra Eingabe in der Eingabezeile mit && ¥ 99 Zeichne die Lösungsmenge des Ungleichungssystems. I) 3x + 4y º 5 II) 2x – 5y º ‒12  III) x ª 5 Die Lösungsmenge der ersten Ungleichung ist die von der Geraden durch 2 5 _ 3 1 0 3 und 2 0 1 5 _ 4 3 begrenzte Halbebene, die den Punkt (0 1 0) nicht enthält. Die Lösungsmenge der zweiten Ungleichung ist die von der Geraden durch (‒6 1 0) und 2 0 1 12 _ 5 3 begrenzte Halbebene, die den Punkt (0 1 0) enthält. Die Lösungsmenge der dritten Ungleichung ist die von der Gera- den durch (5 1 0) und (5 1 1) begrenzte Halbebene, die den Punkt (0 1 0) enthält. Die Lösungsmenge des Systems von linearen Ungleichungen ist die Menge aller Punkte, die in allen drei Halbebenen liegen, also der Durchschnitt dieser drei Halbebenen. lineares Ungleichungs- system mit zwei Unbekannten die Lösungs- menge eines linearen Ungleichungs- systems graphisch darstellen ggb j69b4p ggb/tns 5qe9hc B ein lineares Ungleichungs- system graphisch lösen x y 0 1 -1 - 2 - 3 2 3 5 4 4 3 5 6 2 1 - 2 -1 I II III Lineare Optimierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv