Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

20 2.1 Lineare Ungleichungssysteme Ich lerne die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung mit zwei Unbekannten zu bestim- men und in einem Koordinatensystem darzustellen. Ich lerne die Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems mit zwei Unbekannten graphisch zu ermitteln. Graphisches Lösen einer linearen Ungleichung mit zwei Unbekannten Ein Konditor benötigt für eine Sachertorte 6 Eier und für eine Apfeltorte 4 Eier. Im Lager befinden sich nur noch 24 Eier. Er fragt sich, wie viele Sachertorten und wie vie- le Apfeltorten er aus diesem Vorrat herstellen könnte. Für x Sachertorten und y Apfeltorten werden insgesamt 6x + 4y Eier gebraucht. Da insgesamt nur 24 Eier auf Lager sind, muss das Zahlenpaar (x, y) die folgende Bedingung erfüllen: 6x + 4y ª 24 Die Aufgabe, die Menge aller Zahlenpaare (x, y) mit 6x + 4y ª 24 zu beschreiben, nennt man eine lineare Ungleichung mit zwei Unbekannten . Aufgaben wie „Beschreibe die Menge aller Zahlenpaare (x, y) mit 6x + 4y ª 24“ oder „Beschreibe die Menge aller Zahlenpaare (x, y) mit 6x + 4y º 24“ nennen wir lineare Ungleichungen mit zwei Unbekannten . Die gesuchte Menge heißt dann Lösungsmenge der Ungleichung. Wir überlegen uns, wie die Lösungsmenge der linearen Ungleichung 6x + 4y ª 24 aussieht. Die Lösungsmenge der zugehörigen Gleichung 6x + 4y = 24 ist in der Lösungsmenge der Unglei- chung enthalten und ist die Gerade durch (4 1 0) und (0 1 6). Man kann zeigen, dass die Lösungsmenge der Ungleichung eine der zwei Halbebenen ist, in die R 2 durch diese Gerade zer- teilt wird. Um festzustellen, welche der beiden, müssen wir nur irgendeinen Punkt der Ebene wählen, der nicht auf der Geraden liegt. Ist er eine Lösung der Ungleichung, dann ist die Lösungs- menge die Halbebene, die diesen Punkt enthält. Wenn nicht, ist es die andere. Der Nullpunkt (0 1 0) ist eine Lösung der Unglei- chung, weil 6·0 + 4·0 ª 24 ist. Daher ist die Lösungsmenge die Halbebene, die den Punkt (0 1 0) enthält und deren Rand die Lösungsmenge der Gleichung 6x + 4y = 24 ist. In der Grafik erkennen wir, dass es beispielsweise möglich ist, 3 Sachertorten und 1 Apfelkuchen zu backen. Gegeben sind drei reelle Zahlen a, b, c, (dabei sind nicht sowohl a als auch b gleich 0). Die Lösungsmenge der linearen Ungleichung ax + by ª c ist eine der zwei Halbebenen , die durch die Lösungsmenge der linearen Gleichung ax + by = c getrennt werden. Diese Gerade heißt Rand der Lösungsmenge. Um zu entscheiden, welche der beiden Halbebenen die Lösungsmenge der Ungleichung ist, wählen wir ein Zahlenpaar (m, n), das nicht auf der Geraden liegt. Wenn (m, n) Lösung der Ungleichung ist, dann ist die Lösungsmenge der Ungleichung die Halbebene, die (m, n) enthält. Sonst ist es die andere. lineare Ungleichung mit zwei Unbekannten x y 0 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 6 (0 1 0) (3 1 1) x y (m 1 n) Lösungsmenge einer linearen Ungleichung Halbebene Rand einer Halbebene Lineare Optimierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv