Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

501. a. C b. A c. B 502. a. A·B = 2 7 10 18 26 3 4 2 3 4 1 2 3 · 2 2 1 5 3 3 = 2 3·2 + 1·1 4·2 + 2·1 3·5 + 1·3 4·5 + 2·3 3 = 2 7 10 18 26 3 5 B·A = 2 26 15 12 7 3 b. A·B = 2 3 5 1 4 6 2 5 1 3 3 , B·A = 2 6 5 1 4 3 5 2 1 3 3 503. a. 2 399 270 328 27 31 25 72 62 99 0,66 0,95 1,3 3 · 2 t n s b 3 b. Die Kosten betragen bei Jaalo 4128€, bei Frosch 3236€ und bei Stega 4358€. 4 2 399 270 328 27 31 25 72 62 99 0,66 0,95 1,3 3 · 2 6 6 20 200 3 = 2 4128 3236 4358 3 5 504. a. X = 2 950 960 1930 3 , X 3 = 1930, das bedeutet, dass 1930 Einheiten vom Rohstoff R 3 benötigt werden, um die Nachfrage zu erfüllen. 4 2 2 0 4 1 4 3 0 2 1 3 1 5 3 · 2 100 150 80 200 3 = 2 950 960 1930 3 5 b. 35500€ 4 (12 5 10)· 2 2 0 4 1 4 3 0 2 1 3 1 5 3 · 2 100 150 80 200 3 = 35500 5 5.4 Lineare Gleichungssysteme in Matrizenform 529. a.   invertierbar, da 3·7 – 8·2 = 5 ≠ 0 ist;   2 7 _ 5 ‒  2 _ 5 ‒  8 _ 5 3 _ 5 3 4 1 _ 5 2 7 ‒2 ‒8 3 3 = 2 7 _ 5 ‒  2 _ 5 ‒  8 _ 5 3 _ 5 3 5 b.  nicht invertierbar, da 4·3 – (‒6)·(‒2) = 0 ist c.  invertierbar, da 4·7 – 9·2 = 10 ≠ 0 ist;   2 7 _ 10 ‒  1 _ 5 ‒  9 _ 10 2 _ 5 3 530. a. 2 5 7 3 10 3 · 2 x y 3 = 2 ‒62 41 3  ; x = ‒  743 _ 29  ≈ ‒25,62, y =   639 _ 29  ≈ 22,03  4 2 5 7 3 10 3 ‒1 = 2 10 _ 29 ‒  7 _ 29 ‒  3 _ 29 5 _ 29 3 ; 2 10 _ 29 ‒  7 _ 29 ‒  3 _ 29 5 _ 29 3 · 2 ‒62 41 3 = 2 ‒  743 _ 29 639 _ 29 3 5 b. 2 4 8 0 5 0 2 2 ‒1 6 3 · 2 x y z 3 = 2 0,2 10 8 3 ; x = 749 _ 500  ≈ 1,5, y = ‒  244 _ 125  ≈ ‒1,95, z =    248 _ 125  ≈ 1,98 4 2 4 8 0 5 0 2 2 ‒1 6 3 ‒1 = 2 ‒  1 _ 100 6 _ 25 ‒  2 _ 25 13 _ 100 ‒  3 _ 25 1 _ 25 1 _ 40 ‒  1 _ 10 1 _ 5 3 , 2 4 8 0 5 0 2 2 ‒1 6 3 ‒1 · 2 0,2 10 8 3 = 2 749 _ 500 ‒  244 _ 125 248 _ 125 3 5 531. a. Von R 1 fließt 1 Einheit direkt in E 2 und von R 3 fließen 2 Einheiten in E 3 ein. Von Z 1 werden 100 Einheiten direkt verkauft. b. (E 8 – V) ‒1 = 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3 6 1 1 0 0 0 0 1 2 4 0 1 0 0 0 17 34 13 5 2 1 0 0 7 12 13 1 3 0 1 0 1 2 6 0 1 0 0 1 3 c. (E 8 – V) ‒1 ·N = 2 6300 12000 9600 1400 1800 200 300 500 3 Man benötigt 6300 Einheiten des Rohstoffs R 1 , 12000 Einheiten von R 2 , 9600 Einheiten von R 3 , 1400 Einheiten des Zwischen- produkts Z 1 und 1800 Einheiten von Z 2 . Es werden 200 Einheiten des Endprodukts E 1 , 300 Einheiten von E 2 und 500 Einheiten von E 3 produziert. 6 Winkelfunktionen 6.1 Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck 618. 114,59° 4 2rad = 2 2· 180 _ π 3 ° = 114,59° 5 619. 1,0123rad 4 58° = 2 58· π _ 180 3 rad = 1,0123rad 5 620. Die Stehleiter ist 1,96m hoch. 4 Die Leiter bildet ein gleichschenkeliges Dreieck, daher kann die Höhe mit dem Satz von Pythagoras berechnet werden: 9 ______ 2,1 2 – 2 1,5 _ 2 3 2 = 1,96 5 621. a = 20 _ 9 _ 6  ≈ 8,16cm; b =   30 _ 9 _ 6  ≈ 12,25cm 4 a = 2t, b = 3t; Flächeninhalt: a·b _ 2 = 50 w 6t 2 = 100 w t = 10 _ 9 _ 6 5 622. sin( β ) = d _ c , cos( β ) = f _ c , tan( β ) = d _ f 623. a. sin( α ) = 0,49; cos( α ) = 0,87; tan( α ) = 0,57 b. sin( β ) = 0,27; cos( β ) = 0,96; tan( β ) = 0,28 c. sin( γ ) = 0,43; cos( γ ) = 0,9; tan( γ ) = 0,48 d. sin( δ ) = 0,94; cos( δ ) = 0,33; tan( δ ) = 2,82 624. 7,41° [13% Steigung bedeutet, dass es auf einer Länge von 100m 13m Höhenunterschied gibt. Bezeichnen wir den Steigungswinkel mit α , dann ist tan( α ) = 13 _ 100 , daher ist α = 7,41°.] 625. Der horizontale Platzbedarf beträgt 6m. [Wenn x die horizontale Länge ist, dann gilt tan(35°) = 4,20 _ x , daher ist x = 4,20 __ tan(35°) = 6,00] 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion 638. a. c. b. 639. a. sin 2 ‒  π _ 2 3  = ‒1    b. cos 2 11 π _ 3 3 = 1 _ 2 c. tan 2 ‒  9 π _ 4 3  = ‒1 640. C A ist nicht richtig, weil zum Beispiel cos(0) = 1 ist. B ist nicht richtig, weil aus cos( α ) = 0 immer cos( α ± 2 π ) = 0 folgt. C ist richtig, weil für alle α gilt: sin( α  + 2 π ) = sin( α ) 6.3 Dreiecke und Vermessungsaufgaben 673 . a. α = 28,32°; β = 108,43°; γ = 43,25° [Wir berechnen zum Beispiel zunächst aus dem Cosinussatz mit cos( γ ) = a 2 + b 2 – c 2 _ 2ab den Winkel γ und dann die übrigen Winkel mit- hilfe des Cosinus- oder Sinussatzes.] b. b = 38,62m; α = 70,43°; γ = 57,68° [Wir berechnen mithilfe des Cosinussatzes b 2 = a 2 + c 2 – 2ac·cos( β ) die Seite b. Den zweiten Winkel berechnen wir mithilfe des Sinus- oder Cosinussatzes, den dritten Winkel am schnellsten über die Winkelsumme im Dreieck von 180°.] c. c = 59,76m; α = 40,31; γ = 56,63° [ β liegt der längeren Seite b gegenüber, daher gibt es nur eine Lösung. Wir berechnen zuerst α mithilfe des Sinussatzes, danach den Winkel γ aus γ = 180° – α – β und schließlich mithilfe des Sinussatzes die Seite c.] cos (45°) sin (45°) y x 45° 45° y x α π 2 α – π 2 α – cos( ) sin( α ) y x sin (180° – α ) sin ( α ) 180° – α α α 186 Anhang Nur zu Prüfzwecken _ – Eigentum 0 0 0 0 0 3 3 1 1 des Verlags öbv