Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

c. Die Zielfunktion ändert sich zu Z 2 mit Z 2 (x, y) = 60x + 50y. Es gibt dann viele optimale Punkte, da die Zielfunktion mit einer Kante des zulässigen Bereiches zusammenfällt. Die Lösung aus Aufga- be a. ist aber noch immer eine optimale Lösung. 348. a. a 11 _ 12 4 a 1 _ 4 ·a 2 _ 3 = a 1 _ 4 + 2 _ 3 = a 11 _ 12 5 c. y 1 _ 2 4 2 y 2 _ 3 3 3 _ 4 = y 2 _ 3 · 3 _ 4 = y 1 _ 2 5 b. x 1 _ 4 4 x 3 _ 4 _ x 1 _ 2 = x 3 _ 4 – 1 _ 2 = x 1 _ 4 5 d. c 3 _ 4 4 c 1 _ 2 ·c 2 _ 3 _ c 5 _ 12 = c 1 _ 2 + 2 _ 3 – 5 _ 12 = c 3 _ 4 5 349. Für m = 1 _ 2 und n = 2 folgt aus dieser Rechenregel, dass 2 a 1 _ 2 3 2 = a 1 _ 2 ·2 = a 1 = a ist; also muss a 1 _ 2 eine Zahl sein, deren Quadrat a ist. 350. a. B b. C c. A 351. a. x 1 _ 2 b. a 1 _ 4 c. p 3 _ 5 d. b ‒  1 _ 2 352. a. 3 9 _ a b. 4 9 __ b 3 c. 1 _ 4 9 _ c d. 1 _ 7 9 __ d 2 353. a. x 11 _ 12 = 12 9 __ x 11 4 4 9 __ x 3 · 6 9 _ x = x 3 _ 4 ·x 1 _ 6 = x 3 _ 4 + 1 _ 6 = x 11 _ 12 = 12 9 __ x 11 5 b. u 3 _ 4 = 4 9 __ u 3 4 3 9 _ u· 4 9 _ u· 6 9 _ u = u 1 _ 3 ·u 1 _ 4 ·u 1 _ 6 = u 1 _ 3 + 1 _ 4 + 1 _ 6 = u 3 _ 4 = 4 9 __ u 3 5 c. z 1 _ 24 = 24 9 _ z 4 8 9 __ z 7 _ 6 9 __ z 5 = z 7 _ 8 ·z ‒  5 _ 6 = z 7 _ 8 – 5 _ 6 = z 1 _ 24 = 24 9 _ z 5 d. a 5 _ 24 = 24 9 __ a 5 4 8 9 __ a 5 · 6 9 __ a 5 __ 4 9 __ a 3 · 9 _ a = a 5 _ 8 ·a 5 _ 6 ·a ‒  3 _ 4 ·a ‒  1 _ 2 = a 5 _ 8 + 5 _ 6 – 3 _ 4 – 1 _ 2 = a 5 _ 24 = 24 9 __ a 5 5 354. a.  Lösungen: 2 und ‒2 [x 2 = 4, also x 1 = 2, x 2  = ‒2] b.  Lösungen: 0 und ‒4 [3x 2 + 12x = x(3x + 12) = 0, also x 1 = 0, 3x + 12 = 0 w x 2  = ‒4] c.  Lösungen: 17 und ‒2 4 x 1, 2 = 15 _ 2 ± 9 ____ 15 2 _ 4 + 34 w x 1 = 15 _ 2 + 9 __ 361 _ 4 = 15 _ 2 + 19 _ 2 = 17, x 2 = 15 _ 2 – 19 _ 2  = ‒2  5 d.  Lösungen: 4 und ‒  3 _ 2 4 x 1, 2 = 5 _ 4 ± 9 _________ (‒  5 _ 4 ) 2 – 4· 1 _ 2  ·(‒3)  ___ 2· 1 _ 2 w x 1 = 5 _ 4 + 11 _ 4 = 4, x 2 = 5 _ 4 – 11 _ 4  = ‒  3 _ 2 5 355. a. B 4 x 1, 2 = ‒  3 _ 2 ± 9 ________ 2 3 _ 2 3 2 – 4· 1 _ 2  ·(‒5)  ___ 2· 1 _ 2 w x 1  = ‒  3 _ 2 + 7 _ 2 = 2, x 2  = ‒  3 _ 2 – 7 _ 2  = ‒5  5 b. D [Die Diskriminante ist 3 2 _ 4  – 10 < 0, daher hat die Gleichung keine  reelle Lösung.] 356. a. (k – 34)· k _ 2 = 2520, wobei k die Länge der längeren Kathete ist b.  90 und ‒56 c. Längen können nicht negativ sein, daher kommt als Lösung nur k = 90 in Frage. Die Dreiecksseiten sind 56mm, 90mm und 106mm lang. [90 – 34 = 56mm; 9 _____ 56 2 + 90 2 = 106mm] 357. a. (p – 15)· 2 1400 _ p + 12 3 = 1400, wobei p der ursprüngliche Preis in € pro Kind ist b.  50 und ‒35 c. Der Preis ist eine positive Zahl, der ursprüngliche Preis betrug daher 50€. Die Anzahl der ursprünglich teilnehmenden Kinder ist 28. [1400 : 50 = 28] 358. a. A 4 (‒14) 2 _ 4  – 58 = ‒9 < 0  5 b. C 4 (‒4) 2 _ 4 + 21 = 25 > 0 5 c. C 4 (‒16) 2 _ 4 – 0 = 64 > 0 5 d. B 4 (‒6) 2 _ 4 – 9 = 0 5 Funktionale Zusammenhänge 359. a. Die Funktion ist streng monoton wachsend auf ganz R . b. Die Funktion ist streng monoton wachsend von ‒ • bis ca. ‒0,2  (genau ‒0,155) und von ca. 2,2  (genau 2,155) bis • , streng monoton fallend von ca. ‒0,2 bis  ca. 2,2. 360. a. b. Nullstellen: ‒3, 2, 5      Nullstellen: ‒2, 0, 2 361. K mit K(x) = 7 _ 200 x 2 + 81 _ 5 x + 30 [K(x) = ax 2 + bx + c; I) K(0) = c = 30, II) K(80) = 80 2 a + 80b + 30 = = 1550, III) K(100) = 100 2 a + 100b + 30 = 2000; Die Lösung des Gleichungssystems ist a = 7 _ 200 , b = 81 _ 5 , c = 30.] 362. a. Scheitel: (33 1 2587) [f(x) = ‒3x 2  + 198x – 680 = ‒3(x – s) 2  + t = ‒3(x 2 – 2xs + s 2 ) + t =  = ‒3x 2 + 6xs – 3s 2 + t, daher ist 198 = 6s, also s = 33. Aus ‒680 = ‒3s 2 + t folgt nun t = 2587.] b. Bei einer Produktion von 33ME wird der maximal mögliche Gewinn von 2587GE erzielt. 363. a. 280000€ [K(500) = 0,2·500 2 + 450·500 + 5000 = 280000] b. 194 Surfbretter [Die Lösungen der Gleichung 0,2x 2 + 450x + 5000 = 100000 sind ‒2444,33 und 194,33, es können also maximal 194 Surfbretter  produziert werden.] c. E(x) = 950x d. x 1  ≈ 10,04, x 2  ≈ 2489,96. Das bedeutet, dass man nur dann einen  Gewinn macht, wenn man mindestens 11 und höchstens 2489 Surfbretter im Monat produziert. [Die Lösungen der Gleichung 0,2x 2 + 450x + 5000 = 950x sind x 1  ≈ 10,04, x 2  ≈ 2489,96.] e.  G(x) = ‒0,2x 2 + 500x – 5000; Scheitel (1250 1 307500) [G(x) = E(x) – K(x) = ‒0,2x 2  + 500x – 5000 = ‒0,2(x – s) 2 + t =  = ‒0,2x 2 + 0,4xs – 0,2s 2 + t w 500 = 0,4s w s = 1250 und  ‒5000 = ‒0,2s 2 + t w t = 307500] f. 1250 Surfbretter; 307500€ Stück von Set A Stück von Set B 2 0 4 6 10 12 14 8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x y 0 - 2 -1 2 1 - 2 -1 1 2 x y 0 - 2 -1 2 1 3 4 - 2 -1 - 3 1 2 3 x y 0 - 2 2 4 - 4 4 6 x y 0 - 2 -1 2 1 - 4 - 2 2 Surfbretter Kosten in Euro 0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 2500 3000 2000 1500 1000 500 0 K E 184 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv