Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

Wir zeichnen den zulässigen Bereich sowie die Niveaulinie von Z zum Funktionswert 0 in ein Koordinatensystem. Da die Kosten minimal sein sollen, verschieben wir anschließend diese Niveau- linie so lange nach oben, bis wir schließlich den ersten Punkt des zulässigen Bereichs erreichen. Dieser optimale Punkt ist der Schnittpunkt der Ränder der Lösungsmengen von II und III. Sei- ne Koordinaten erhalten wir als Lösung des Gleichungssystems II) 6x + 8y = 225 III) 12x + 8y = 360 x = 22,5, y = 11,25 Kosten: 22,5·16 + 11,25·14 = 517,50€; Gehalt an Stickstoff: 8·22,5 + 4·11,25 = 225ME, Phosphor: 6·22,5 + 8·11,25 = 225ME, Kalzium: 12·22,5 + 8·11,25 = 360ME] 132. 5 Zelte für 8 Personen, 4 Zelte für 12 Personen [Wir bezeichnen mit x die Anzahl der 8 Personen Zelte und mit y die Anzahl der 12 Personen Zelte. So ergibt sich folgendes lineares Ungleichungssystem: I) 300x + 500y ª 3500 II) x ª 5 III) y ª 8 IV) x º 0 V) y º 0 Die Zielfunktion ist Z mit Z(x, y) = 8x + 12y. Der optimale Punkt ist der Schnittpunkt der Ränder der Lösungsmengen von I und II. Am besten ist es daher, 5 Zelte für 8 und 4 Zelte für 12 Personen zu kaufen, so können 88 Personen untergebracht werden. Die Zelte kosten insgesamt genau 3500€.] 3 Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen 3.1 Quadratische Gleichungen 192. a.   {‒9, 25}  4 x 1, 2 = 8 ± 9 ______ 2 16 _ 2 3 2 + 225 = 8 ± 9 __ 289 = 8 ± 17, also ist x 1 = – 9, x 2 = 25 5 b.  {0,532; 3,135}  4 x 1, 2 = 11 ± 9 ______ 11 2  ‒ 4·3·5  ___ 2·3 = 11 ± 9 __ 61 __ 6 , also ist x 1 = 3,135, x 2 = 0,532 5 c.  {‒9, ‒0,75}  4 Ausmultiplizieren und Zusammenfassen führt auf die Gleichung 4x 2 + 39x + 27 = 0. x 1, 2 = ‒39 ±   9 _______ 39 2  ‒ 4·4·27  ___ 2·4 = ‒39 ±   9 ___ 1089 __ 8 , also ist x 1  = ‒0,75, x 2  = ‒9  5 193. a. 0 4 (‒ 6) 2 _ 4  – 11 = ‒ 2 < 0  5 d. 2 4 2 2 _ 4 + 1 = 2 > 0 5 b. 1 4 8 2 _ 4 – 16 = 0 5 e. 0 4 2 ‒  5 _ 2 3 2 _ 4 – 13 _ 2  = ‒  79 _ 16  < 0  5 c. 2 4 (‒5) 2 _ 4 – 3 = 3,25 > 0 5 f. 2 4 2 7 _ 3 3 2 _ 4 + 5 _ 3 = 109 _ 36 > 0 5 194. 4cm [Löse die Gleichung x(x + 3,5) = 30, also x 2 + 3,5 x – 30 = 0. Die Lösungen sind ‒7,5 und 4. Da eine Seitenlänge positiv sein  muss, kommt nur 4 als Lösung in Frage.] 195. 1,8% p.a. [Löse die Gleichung 5000(1 + i) 2 + 8000(1 + i) = 13325,62. Die Lösungen sind ‒3,618 und 0,018. Der Zinssatz muss positiv sein,  also 1,8%.] 196. a. 5 + 3i und 5 – 3i [Es ist 2 10 _ 2 3 2  – 34 = ‒9 < 0, also ist x 1, 2 = 5 ± 9 _ 9·i = 5 ± 3i, also x 1 = 5 + 3i, x 2 = 5 – 3i. Probe: (5 + 3i) 2 – 10(5 + 3i) + 34 = (25 + 30i – 9) – 50 – 30i + 34 = 0  (5 – 3i) 2 – 10(5 – 3i) + 34 = (25 – 30i – 9) – 50 + 30i + 34 = 0  ] b.  ‒4 + 4i und ‒4 – 4i  [Es ist 2 8 _ 2 3 2  – 32 = ‒16 < 0, also ist x 1, 2  = ‒4 ±   9 __ 16·i = ‒4 ± 4i, also  x 1  = ‒4 + 4i, x 2  = ‒4 – 4i.] 197. a.  c < 28,125    b. c = 28,125 c. c > 28,125 [Die Gleichung ist äquivalent zu x 2 – 7,5x + c _ 2 = 0. Die Diskriminante ist 2 7,5 _ 2 3 2 – c _ 2 . Zunächst untersuchen wir, für welche Zahlen c die Dis- kriminante gleich 0 ist. 2 7,5 _ 2 3 2 – c _ 2 = 0 É c = 56,25 _ 2 = 28,125. Daher hat die Gleichung zwei reelle Lösungen für c < 28,125, eine Lösung für  c = 28,125 und keine reelle Lösung für c > 28,125.] 3.2 Quadratische Funktionen 246. f(x) = 2 2 x – 5 _ 4 3 2 – 1 _ 8 ; Scheitel: 2 5 _ 4 1  ‒  1 _ 8 3 4 f(x) = 2x 2 – 5x + 3 = 2 2 x 2 – 5 _ 2 x + 2 5 _ 4 3 2 3 + 3 – 2· 2 5 _ 4 3 2 = 2 2 x – 5 _ 4 3 2 – 1 _ 8 5 247. Der Graph von f hat den Scheitel (3 1 ‒4). Wir erhalten den Graphen  von f, indem wir den Graphen von g so verschieben, dass der Punkt (0 1 0) im Scheitel (3 1 ‒4) zu liegen kommt. Das heißt, wir verschie- ben g um 3 Einheiten entlang der xAchse und um ‒4 Einheiten  entlang der y-Achse. 248. a. A, C c. A, B e. C, D g. B b. B, D d. D f. C h. A 249. a.  Da a = ‒3 < 0 ist, hat f einen größten Funktionswert. b.  f(x) = ‒3(x – 1) 2 + 24, daher ist der Scheitel (1 1 24) und f hat einen größten Funktionswert, daher hat f zwei Nullstellen. 250. 3 + 9 _ 7 ≈ 5,646, 3 ‒   9 _ 7 ≈ 0,354 [Löse die Gleichung 0,5x 2 – 3x + 1 = 0.] 251. (2 1 0) und (3 1 0) [Löse die Gleichung x 2 – 5x + 6 = 0.] 252. Der Graph einer quadratischen Funktion schneidet die x-Achse ent- weder in zwei Punkten, berührt sie in einem Punkt oder schneidet sie nicht. 253. a. F  (a < 0 und t > 0)      oder (a > 0 und t < 0) b. C  (a > 0)          oder  (a < 0) c. E  (a > 0, t > 0)        oder (a < 0, t < 0) 3.3 Modellieren mit quadratischen Funktionen 289. f mit f(x) = 0,5x 2 + 3x – 4 [Löse das Gleichungssystem I) 4a + 2b + c = 4 II) 16a + 4b + c = 16 III) 36a + 6b + c = 32 Die Lösung ist a = 0,5, b = 3, c = ‒4.] 290.  f mit f(x) = ‒2(x – 3) 2  + 8 bzw. f(x) = ‒2x 2 + 12x – 10 [Der Scheitel ist (3 1 8) also ist f(x) = a·(x – 3) 2 + 8 und es gilt f(1) = 0, also f(1) = a·4 + 8 = 0 und a = ‒2.  Daher ist f(x) = ‒2 (x – 3) 2  + 8 = ‒2x 2 + 12x – 10.] kl. gr. 0 2 4 8 10 6 2 4 6 8 (5 1 4) x y 0 2 3 1 -1 - 2 2 1 -1 - 2 x y 0 2 3 1 -1 - 2 2 1 -1 - 2 x y 0 2 3 4 1 -1 2 1 -1 3 x y 0 2 3 1 -1 - 2 1 -1 - 2 - 3 x y 0 2 3 4 1 -1 2 1 -1 3 x y 0 2 3 4 1 -1 1 -1 - 2 - 3 182 Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum _ des Verlags öbv