Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

158 Zusammenfassung Man kann Winkel als Vielfache von 1 rad ( Bogenmaß ) oder als Vielfache von 1° ( Gradmaß ) ange- ben. Es ist x° = x· π _ 180 rad und y rad = 2 y· 180 _ π 3 ° . Die Summe der Winkel eines Dreiecks ist immer 180° bzw. π . Die Seiten in einem rechtwinkeligen Dreieck, die aufeinander normal stehen, heißen Katheten . Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse . In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Seitenlängen der Katheten gleich dem Quadrat der Seiten- länge der Hypotenuse. a 2 + b 2 = c 2 Ist α ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck, dann heißt die Kathete, die α gegenüberliegt , die Gegenkathete zu α . Die Kathete, die am Winkel α anliegt , bezeichnen wir als Ankathete zu α . sin( α ) = Gegenkathete _ Hypotenuse cos( α ) = Ankathete _ Hypotenuse tan( α ) = Gegenkathete _ Ankathete Es ist sin( α ) 2 + cos( α ) 2 = 1 . Für den Steigungswinkel α des Graphen einer linearen Funktion mit Änderungsrate k gilt:  tan( α ) = k bzw. α = arctan(k) Die Cosinusfunktion cos: R ¥ R , α ¦ cos( α ) und die Sinusfunktion sin: R ¥ R , α ¦ sin( α ) sind 2 π periodische Funktionen, ihre Funktionswerte liegen zwischen ‒1 und 1. Die Cosinusfunktion  ist eine gerade Funktion, die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion.  Die Tangensfunktion tan: R \ { π _ 2 + k π  † k * Z } ¥ R , α ¦ tan( α ) = sin( α ) _ cos( α ) ist eine π -periodische  Funktion. Cosinus: Sinus: Tangens: Der Quotient Sinus eines Winkels _____ Länge der gegenüberliegenden Seite ist für alle Winkel im Dreieck gleich. Kurz: sin( α ) _ a = sin( β ) _ b = sin( γ ) _ c a 2 = b 2 + c 2 – 2·b·c·cos( α ) b 2 = a 2 + c 2 – 2·a·c·cos( β ) c 2 = a 2 + b 2 – 2·a·b·cos( γ ) Winkel rechtwinkelige Dreiecke c b a A B C α β Satz von Pythagoras Ankathete Gegenkathete α Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Steigungs- winkel Winkel- funktionen x y 0 - 3 π - 2 π - π π 2 π 3 π 2 x y 0 - 3 π - 2 π - π π 2 π 3 π 2 x y 0 - 3 π - 2 π - π π 2 π 3 π 2 Sinussatz Cosinussatz Zusammenfassung: Winkelfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv