Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

156 664 Ein Schiff entfernt sich mit einer Geschwindigkeit von 36 km/h in gerader Linie von einem hohen  Leuchtturm. Um 10 Uhr sieht der Leuchtturmwärter von der Spitze des Leuchtturms das Schiff unter einem Winkel von 16,7° und 10 Minuten später sieht er es unter einem Winkel von 1,32°.  Ermittle die Höhe des Leuchtturms. 665 Ein Besucher eines Nationalparks steht auf einer Aussichtsplattform in einer Höhe von 15m  oberhalb des Bodens. Er betrachtet einen Baum und sieht den Baumwipfel dabei unter einem Höhenwinkel von 30°. Den Fuß des Baumstammes sieht er unter einem Tiefenwinkel von 20°.  a.  Fertige eine Skizze an. b. Berechne die gesamte Höhe des Baumes. c.  Der Besucher stellt sich auf der Plattform 5m weiter weg vom Baum. Überlege, ob der  Baumwipfel dann unter einem größeren oder einem kleineren Winkel erscheint. Begründe. 666 Ein Klippenspringer steht 20m oberhalb der Wasseroberfläche, als er die Spiegelung eines Heißluftballons im Wasser bemerkt. Der Winkel zum Spiegelbild beträgt dabei α = 60°. Hebt er seinen Blick, so sieht er den Heißluftballon unter einem Winkel von β  = 56°. a. Berechne, in welcher vertikalen Höhe v der Ballon über der Wasser- oberfläche schwebt. b. Ermittle, in welcher horizontalen Entfernung h vom Springer der Ballon schwebt. c. Untersuche, ob die folgende Aussage stimmt: Wenn der Springer das Spiegelbild unter einem Winkel von 45° sieht, dann ist der Bal- lon horizontal genauso weit vom Springer entfernt wie vertikal von der Wasseroberfläche. 667 Um den Abstand zweier kleiner Inseln C und D zu bestimmen, misst man am Ufer von zwei Messpunkten A und B mit genau 500m Abstand voneinander die folgenden Winkel  (siehe Skizze): α C = 111,8°, α D  = 45°, β C  = 35,54°, β D  = 105,95° Berechne den Abstand zwischen C und D. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die gesuchte Länge zu berechnen. Wir gehen beispielsweise so vor: Im Dreieck ∆ ABC können wir den Winkel γ bei C und die Länge _ BC der Strecke BC berechnen: γ = 180° – α C – β C  = 32,66° Mit dem Sinussatz erhalten wir sin( α C ) _ _ BC = sin( γ ) _ _ AB , daher ist _ BC = sin( α C  )·  _ AB _ sin( γ )  = sin(111,8°)·  500 __ sin(32,66°) = 860,26m. Im Dreieck ∆ ABD können wir den Winkel δ bei D und die Länge der Strecke BD berechnen: δ = 180° – α D – β D  = 29,05° Mit dem Sinussatz erhalten wir sin( α D ) _ _ BD = sin( δ ) _ _ AB , daher ist _ BD = sin( α D  )·  _ AB _ sin( δ )  = sin(45°)·  500 __ sin(29,05°)  = 728,12m. Im Dreieck ∆ BCD können wir den Winkel β bei B und die Länge der Strecke _ CD berechnen: β = β D – β C  = 70,41° Mit dem Cosinussatz erhalten wir _ CD 2 = _ BC 2 + _ BD 2  – 2·  _ BC·  _ BD·cos( β ) = 850176,70 _ CD = 9 ______ 850176,70 = 922,05m. Der Abstand zwischen den beiden Inseln beträgt rund 922m. 668 Zwischen zwei Orten A und B liegt ein See. Um den Abstand zwischen den Orten zu messen, wird von einem Punkt C aus der Abstand zu A mit 1 250m und der Abstand zu B mit 1 360m, sowie der Winkel ω zwischen den Strecken CA und CB mit 62° gemessen. Berechne den Abstand zwischen A und B. A, B , A, B, D , 20m α β v v h A, B, C ; eine Vermessungs- aufgabe lösen A, B α D α C β C β D B D C A A, B B A C ω , Winkelfunktionen Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv