Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

155 Vermessungsaufgaben Berechnungen im Dreieck können für Vermessungen genutzt werden. Beim Vermessen nennt man den Winkel zwischen der Blickrichtung parallel zur Erdoberfläche und der Blickrichtung zum anvisierten Punkt P einen Höhenwinkel , wenn P oberhalb der Blickrichtung liegt, und einen Tiefenwinkel , wenn P unterhalb der Blickrichtung liegt. Tipp Um Vermessungsaufgaben zu lösen, gibt es meist mehrere mögliche Vorgangsweisen. Nützlich ist, sich zunächst eine Skizze zu machen, in der man die bekannten Längen und Winkel einzeich- net. Nun sucht man in dieser Skizze Dreiecke, von denen man bereits genug Bestimmungsstücke kennt, um die übrigen Längen und Winkel mithilfe der Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck oder mithilfe des Sinus- oder des Cosinussatzes zu berechnen. 659 Um die Höhe eines Hügels zu bestimmen, visiert man von einem Punkt der Ebene aus eine 2m lange Mess- latte auf dem Gipfel des Hügels unter den Höhen- winkeln α B  = 27,69° und α C  = 32,65° an (siehe Skizze).  Berechne die Höhe des Hügels. Im Dreieck ∆ ABC berechnen wir zunächst mithilfe des Sinussatzes die Länge _ AB der Strecke AB. Den Winkel in diesem Dreieck bei A bezeichnen wir mit α , den bei C mit γ . Dann ist γ = 180° – 90° – α C  = 57,35°  und α = α C – α B = 4,96°. sin( γ ) _ _ AB = sin( α ) _ a , daher ist _ AB = sin( γ )·  a _ sin( α )  = sin(57,35°)·  2 __ sin(4,96°) = 19,48m. Im rechtwinkeligen Dreieck ∆ ADB ist die gesuchte Höhe h die Gegenkathete von α B : sin( α B ) = h _ AB , daher ist h = _ AB·sin( α B ) = 19,48·sin(27,69°) = 9,05m. Der Hügel ist rund 9m hoch. 660 Die Höhe eines Gebäudes soll vermessen werden. Dafür wird eine 3m  lange gerade Messlatte am Dach des Hauses positioniert (Skizze rechts). Dann wird vom Boden aus das obere und das untere Ende der Latte anvisiert. Dabei werden die Höhenwinkel α = 61° und β = 64° gemessen. Berechne die Höhe des Gebäudes. 661 Auf dem Dach eines Hauses befindet sich ein 2m hoher Sendermast. Von einem Beobachtungspunkt auf der ebenen Zufahrtsstraße erscheinen der Fußpunkt des Sendermastes unter einem Winkel von 32,47°  und die Spitze unter einem Winkel von 39,21°. Das Messgerät befindet sich  dabei auf einer Höhe von 1,50m.  a. Berechne die Höhe des Hauses. b. Berechne, wie weit die Spitze des Sendermasts vom Beobachter entfernt ist. 662 Von einem 24m hohen Haus peilt man die beiden Ufer eines Flusses  unter den Tiefenwinkeln 24° und 13° an. Berechne die Breite des Flusses  und die Entfernung des Hauses zum näheren Flussufer.  663 Die Höhe eines Mastes soll bestimmt werden. Dafür wird von einem 25m hohen Hügel aus der Höhenwinkel α  = 27° zur Spitze des Mastes  und der Tiefenwinkel β  = 23° zum Fußpunkt des Mastes gemessen.  Ermittle die Höhe des Mastes. P P Höhenwinkel Tiefenwinkel α B α C a h D B C A eine Vermessungs- aufgabe lösen A, B A, B 3m α β , A, B , A, B 13° 24° ggb yu94ng , , A, B h H β α 6.3 Dreiecke und Vermessungsaufgaben Nur zu  ·  · Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv