Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

153 649 Ein Dreieck hat die Seitenlängen b = 8 cm, c = 6 cm und den Winkel α  = 30°. Berechne die Seiten- länge a. Nach dem Cosinussatz gilt a² = b² + c² – 2bc·cos( α ), also ist a = 9 ___________ b² + c² – 2bc·cos( α ) = = 9 _____________ 8² + 6² – 2·8·6·cos(30°) =   9 ___ 16,86 = 4,11 Daher ist a = 4,11 cm. 650 Berechne die fehlenden Winkel und Seitenlängen des Dreiecks, von dem folgende Seitenlängen und Winkel gegeben sind: a = 5 cm, b = 8 cm, α  = 35° Es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben, wir können daher mit dem Sinussatz einen weiteren Winkel berechnen: sin( β ) = b·  sin( α ) _ a  = 8·  0,574 _ 5 = 0,918 β 1 = 66,60° Wegen sin( β ) = sin(180° – β ) ist auch β 2 = 180° – β 1  = 113,40° eine Lösung. Wir erhalten also zwei Dreiecke. Für beide gilt  γ = 180 – α – β , daher ist γ 1  = 78,40° und  γ 2  = 31,60°. Die Seite c berechnen wir mit dem Sinussatz: c = a·  sin( γ ) _ sin( α ) Für  γ 1  = 78,40° berechnen wir  c 1  = 5·  sin(78,40°) _ sin(35°)  = 8,54 cm und für γ 2 = 31,60° berechnen wir c 2  = 5·  sin(31,60°) _ sin(35°)  = 4,57cm.  Wir erhalten also ein Dreieck mit a = 5 cm, b = 8 cm und c 1  = 8,54 cm und ein zweites Dreieck mit  a = 5 cm, b = 8 cm und c 2  = 4,57cm. 651 Berechne die Seitenlängen b und c und den Winkel α des Dreiecks, von dem folgende Bestim- mungsstücke gegeben sind: a = 6 cm, β  = 34,5°, γ  = 125,67° Es sind eine Seite und die zwei anliegenden Winkel gegeben. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°. Wir können daher den Winkel α berechnen: α = 180° – β – γ  = 19,83° Mit dem Sinussatz können wir die Seitenlängen b und c berechnen: sin( α ) _ a = sin( β ) _ b b = a·  sin( β ) _ sin( α )  = 6·  sin(34,5°) _ sin(19,83°) = 10,018 cm sin( α ) _ a = sin( γ ) _ c c = a·  sin( γ ) _ sin( α )  = 6·  sin(125,67°) _ sin(19,83°)  = 14,369 cm 652 Untersuche, mit welchem Satz die nicht angegebenen Seitenlängen und Winkel des Dreiecks berechnet werden können, wenn folgende Seiten- längen und Winkel bekannt sind. a. a, c, β c. a, b, α e. b, c, γ b. b, c, α d. a, b, c f. b, α , β 653 Berechne die Winkel des Dreiecks. Die Seitenlängen sind in cm angegeben. a. b. c. d. e. f. g. h. a 20,00 16,00 6,00 8,90 5,30 6,73 8,54 17,37 b 16,00 18,00 7,00 9,30 7,70 8,81 6,61 18,16 c 17,00 21,00 11,00 3,30 10,90 13,34 11,49 23,45 B eine Seitenlänge eines Dreiecks berechnen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind β γ α b a c B ggb/tns v45jh5 Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks berechnen, wenn zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben sind β 1 β 2 γ 1 α γ 2 c 1 c 2 a a b B ggb/tns 3d8rt2 Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks berechnen, wenn eine Seite und zwei Winkel gegeben sind β γ α b a c C β γ α b a c , B , 6.3 Dreiecke und Vermessungsaufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv