Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

152 642 Gib den Sinus- und Cosinussatz für das Dreieck mit den angegebenen Bezeichnungen an. a. b. c. 643 Untersuche, welche der Behauptungen für das skizzierte Dreieck richtig sind. t s u α β γ A sin( α ) = u _ t B t _ sin( α ) = s _ sin( γ ) C u _ sin( α ) = t _ sin( β ) D sin( α ) _ u = sin( γ ) _ s E cos( β ) = s _ t F t 2 = s 2 + u 2 G u 2 = t 2 + s 2  – 2ts·cos( α ) H u 2 = t 2 + s 2  – 2ts·cos( β ) I s 2 = u 2 + s 2  + 2us·cos( β ) 644 Zeichne ein Dreieck mit einer geeigneten Technologie. Benenne die Punkte, Seiten und Winkel in der üblichen Weise. Berechne dann die Quotienten a _ sin( α ) , b _ sin( β ) und c _ sin( γ ) . Verschiebe nun die Eck- punkte des Dreiecks beliebig und achte darauf, wie sich die Quotienten verändern. Dokumentiere deine Beobachtungen. 645 Arbeitet in Zweiergruppen. Jede/r von euch zeichnet ein beliebiges Dreieck und bezeichnet  dessen Seiten und Winkel beliebig, aber eindeutig. Jede/r formuliert dann für das Dreieck den  Sinus- und Cosinussatz. Tauscht nun die Dreiecke und kontrolliert, ob Sinus- und Cosinussatz richtig formuliert wurden. 646 Beweise, dass für rechtwinkelige Dreiecke der Satz von Pythagoras und der Cosinussatz für den rechten Winkel übereinstimmen. 647 Stimmt die Behauptung, dass der Sinussatz in rechtwinkeligen Dreiecken nicht gilt? Begründe. Seiten und Winkel des Dreiecks Wenn wir von einem Dreieck nicht alle Seitenlängen und Winkel kennen, können wir die fehlen- den wie folgt berechnen: gegeben sind berechnet wird Berechnung mithilfe von drei Seiten beliebiger Winkel Cosinussatz zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel dritte Seite Cosinussatz zwei Seiten und ein Winkel, der einer der beiden Seiten gegenüberliegt weiterer Winkel (eventuell zwei Lösungen) Sinussatz eine Seite und zwei Winkel weitere Seite Sinussatz drei Winkel Durch drei Winkel allein ist ein Dreieck nicht eindeutig bestimmt. 648 Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 5 cm, b = 4,8 cm, c = 7cm. Berechne seine Winkel. Wir berechnen den Winkel α mithilfe des Cosinussatzes. Weil a² = b² + c² – 2bc·cos( α ) ist cos( α ) = b² + c² – a² __ 2bc = 4,8² + 7² – 5² __ 2·4,8·7  = 0,7 α  = arccos(0,7) = 45,57°. Den Winkel β berechnen wir mithilfe des Sinussatzes sin( β ) _ b = sin( α ) _ a : sin( β ) = b·  sin( α ) _ a  = 4,8·  sin(45,57°) __ 5  = 0,6855 ß = arcsin(0,6855) = 43,28° Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°, also ist γ = 180° – α – β  = 91,15°. A : γ ε δ z y x μ δ ε b a c β α γ m l k C , B, C ggb v6g34b , A, D , D ; D ; B Winkel eines Dreiecks berechnen, wenn drei Seiten gegeben sind β γ α b a c Winkelfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv