Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

151 6.3 Dreiecke und Vermessungsaufgaben Ich lerne geometrische Aufgaben mit dem Sinus- oder dem Cosinussatz zu lösen. Ich lerne zu begründen, warum ich zum Lösen einer Aufgabe mit Dreiecken den Sinus- oder den Cosinussatz verwende. Ich lerne Vermessungsaufgaben mithilfe des Sinus- oder des Cosinussatzes zu lösen. Sinussatz und Cosinussatz Mit H C bezeichnen wir den Schnittpunkt der Geraden durch C, die normal zur Geraden durch A und B steht, mit der Geraden durch A und B. Das Dreieck ∆ AH C C hat einen rechten Winkel bei H C , daher ist die Länge der Strecke H C B gleich a·cos( β ) und h c , die Länge der Strecke H C C, ist gleich a·sin( β ). Der Flächeninhalt des Dreiecks ∆ ABC ist A = 1 _ 2  c·h c . Daraus folgt: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist A = c·h c _ 2 = c·a·sin( β ) __ 2 . Wir hätten uns dasselbe auch für die Eckpunkte B und C statt A überlegen können: A = a·h a _ 2 = a·b·sin( γ ) __ 2 und A = b·h b _ 2 = b·c·sin( α ) __ 2 In Worten: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produktes zweier Seitenlängen mal  dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Der Flächeninhalt des Dreiecks ∆ ABC ist A = 1 _ 2  c·b·sin( α ) = 1 _ 2  a·c·sin( β ) = 1 _ 2  a·b·sin( γ ). Nach Division durch 1 _ 2  a·b·c erhalten wir daraus sin( α ) _ a = sin( β ) _ b = sin( γ ) _ c . Wir haben damit den Sinussatz bewiesen: Der Quotient Sinus eines Winkels _____ Länge der gegenüberliegenden Seite ist für alle Winkel im Dreieck gleich. Kurz: sin( α ) _ a = sin( β ) _ b = sin( γ ) _ c Ohne Beweis geben wir den Cosinussatz an: a 2 = b 2 + c 2 – 2·b·c·cos( α ) b 2 = a 2 + c 2 – 2·a·c·cos( β ) c 2 = a 2 + b 2 – 2·a·b·cos( γ ) Das Quadrat einer Seite ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten abzüglich des doppelten Produkts der beiden anderen Seiten und dem Cosinus des von diesen Seiten eingeschlossenen Winkels. 641 Gib für das skizzierte Dreieck den Sinus- und den Cosinussatz an. Sinussatz: sin( σ ) _ f = sin( ω ) _ e = sin( ή ) _ d Cosinussatz: f²  = e² + d² – 2·e·d·cos( σ ) e 2 = d 2 + f 2  – 2·d·f·cos( ω ) d 2 = e 2 + f 2  – 2·e·f·cos( ή ) β α B A b a h C H C c C trigono- metrische Flächenformel Sinussatz Cosinussatz ω σ ή e d f A Sinus- und Cosinussatz für ein Dreieck angeben 6.3 Dreiecke und Vermessungsaufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv