Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

149 Wir nennen die Funktion cos: R ¥ R : α ¦ cos( α ) die Cosinusfunktion oder einfach Cosinus. Die Nullstellen der Cosinusfunktion im Intervall [0; 2 π ) sind π _ 2 und 3 π _ 2 , also ist { π _ 2 + k · π † k * Z } die Menge aller Nullstellen der Cosinusfunktion. Die Cosinusfunktion ist im Intervall [0; π ] monoton fallend und im Intervall [ π ; 2 π ] monoton wachsend. Sie ist eine gerade Funktion , das heißt, für alle reellen Zahlen α ist cos(‒ α ) = cos( α ) . Man nennt Sinus und Cosinus 2 π -periodische Funktionen , das heißt: Für alle Zahlen α ist sin( α + 2 π ) = sin( α ) und cos( α + 2 π ) = cos( α ). Es genügt also, die Einschränkung dieser Funktionen auf das Intervall [0; 2 π ) zu kennen. Für reelle Zahlen α , die nicht Nullstellen der Cosinusfunktion sind, definieren wir den Tangens von α durch tan( α ) = sin( α ) _ cos( α ) und nennen die Funktion  tan: R \ { π _ 2 + k π  † k * Z } ¥ R , α ¦ tan( α ) Tangensfunktion oder einfach Tangens . Der Graph der Tangensfunktion sieht so aus: Aus der Definition folgt: ƒ tan(0) = 0 tan 2 π _ 4 3 = 1 tan 2 ‒  π _ 4 3  = ‒1 ƒ Für alle α ist tan(‒ α ) = ‒ tan( α ) , also ist die Tangensfunktion eine ungerade Funktion. Aus der Veranschaulichung von tan( α ) am Einheitskreis folgt: Die Tangensfunktion ist im Intervall 2 ‒  π _ 2  ;   π _ 2 3 monoton wachsend. Die Funktionen Cosinus, Sinus, Tangens werden Winkelfunktionen genannt. Cosinus- funktion ggb pp2i5k 0 x y -1 1 π 2 π 2 3 π 2 5 π 2 3 π 2 π - π 2 π 3 π - 2 π - 3 π - 5 π 2 - - Nullstellen der Cosinus- funktion x y π - π cos(- α ) cos( α ) Cosinus ist eine gerade Funktion 2π-periodisch Tangens- funktion ggb hz86pt 0 x y -1 1 π 2 π 2 3 π 2 5 π 2 3 π 2 π - π 2 π 3 π - 2 π - 3 π - 5 π 2 - - Eigenschaften der Tangens- funktion Monotonie von Tangens Winkel- funktionen 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion Nur N zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv