Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

147 Aus diesem Bild können wir unmittelbar die folgenden Eigenschaften von cos( α ) und sin( α ), für jede Zahl α im Intervall [0; 2 π ], ablesen: cos( α ) 2 + sin( α ) 2 = 1, weil P = (cos( α ) | sin( α )) auf dem Einheitskreis liegt. ‒1 ª cos( α ) ª 1 ‒1 ª sin( α ) ª 1 cos(0) = 1, cos 2 π _ 2 3 = 0, cos( π ) = ‒1, cos 2 3 π _ 2 3 = 0, cos(2 π ) = 1 sin(0) = 0, sin 2 π _ 2 3 = 1, sin( π ) = 0, sin 2 3 π _ 2 3 = ‒1, sin(2 π ) = 0 cos(2 π – α ) = cos( α ), sin(2 π – α ) = ‒ sin( α ) Für Winkel α mit cos( α ) ≠ 0 definieren wir tan( α ) = sin( α ) _ cos( α ) . Am Einheitskreis können wir tan( α ) so veranschaulichen: Wir zeichnen den Punkt P = (cos( α ) 1 sin( α )) auf dem Einheits- kreis ein und dann die Gerade durch (0 1 0) und P. Den Punkt 2 cos( α ) _ cos( α ) 1 sin( α ) _ cos( α ) 3 = (1 1 tan( α )) erhalten wir als Schnittpunkt dieser Geraden mit der Geraden durch (1 1 0), die zur y-Achse parallel ist. Die Zahl tan( α ) ist die zweite Koordinate des Schnittpunktes. 626 Zeichne einen Einheitskreis und den angegebenen Winkel und ermittle den angegebenen Winkelfunktionswert durch Abmessen. a. sin(35°) b. cos(240°) c. tan(290°) a. sin(35°) ≈ 0,54 b. cos(240°) ≈ ‒ 0,5 c. tan(290°) ≈ ‒2,75 627 Zeichne einen Einheitskreis und ermittle den Winkelfunktionswert durch Abmessen. a. sin(30°) = c. sin(305°) = e. cos(240°) = g. tan(140°) = b. sin(105°) = d. cos(45°) = f. cos(350°) = h. tan(205°) = 628 Es sind Winkelfunktionswerte von Winkeln von (1 1 0) nach einem Punkt P am Einheitskreis gegeben. Ordne ihnen die Quadranten zu, in denen P liegen kann. a. sin( α ) = 0,523 b. sin( β ) = ‒ 0,123 c. cos( γ ) = 0,451 d. cos( δ ) = ‒ 0,537 e. cos( ε ) = ‒ 0,921 f. tan( φ ) = 0,332 g. tan( η ) = 1,534 h. tan( ι ) = ‒3,201 α α (1 1 0) P = ( cos( α ) 1 sin( α ) ) P’ = ( cos(2 π – α ) 1 sin(2 π – α ) ) y x (0 1 0) 2 π – α Eigenschaften von Cosinus und Sinus Tangens α (1 1 0) (1 1 tan( α )) P y x B Winkel- funktionswerte abmessen (1 1 0) y x (1 1 0) y x (1 1 0) y x C , C I. Quadrant IV. Quadrant II. Quadrant III. Quadrant 0 ; 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv