Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

146 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion Ich lerne Drehwinkel kennen und ihren Sinus, Cosinus und Tangens mithilfe ihrer Darstellung am Einheitskreis zu bestimmen. Ich lerne die Sinusfunktion, Cosinusfunktion und Tangensfunktion als periodische Funktionen kennen. Ich lerne einige Eigenschaften dieser drei Winkelfunktionen kennen. Sinus, Cosinus und Tangens von Drehwinkeln Wir haben einen Winkel als Länge des kürzeren Bogens am Einheitskreis, dessen Mittelpunkt der Scheitel des Winkels ist, zwischen seinen beiden Schenkeln definiert. Dieser Winkel ist eine Zahl zwischen 0° und 180° (bzw. im Bogenmaß zwischen 0 und π ). Wenn wir Drehungen betrachten, dann brauchen wir auch „größere“ Winkel. Als Drehrichtung legen wir „gegen den Uhrzeigersinn“ fest. Für zwei Punkte P und Q auf dem Einheitskreis mit Mittel punkt S definieren wir den Drehwinkel von P nach Q als Länge des Kreisbogens, der gegen den Uhrzeigersinn von P nach Q führt. Ein Drehwinkel ist also eine Zahl zwischen 0 und 2 π . Häufig sagt man statt Drehwinkel einfach wieder Winkel . Tipp Wie erkennt man, ob ein Drehwinkel gemeint ist? Wenn wir vom Winkel von P nach Q sprechen (also eine Reihenfolge der zwei Punkte festlegen), ist ein Drehwinkel gemeint, sonst sprechen wir wie bisher vom Winkel zwischen P und Q (oder gleichbedeutend: zwischen Q und P). Wenn der Winkel von P nach Q gleich α  ist, dann ist der Winkel von Q nach P gleich 360° – α (im Bogenmaß 2 π – α) . Wir wählen ein rechtwinkeliges Koordinatensystem und einen Punkt (x 1 y) auf dem Einheitskreis um (0 1 0). Wenn y º 0 und x > 0 ist, dann ist die Länge α des Kreisbogens von (1 1 0) nach (x, y) kleiner als 90 ° = π _ 2 . Daher ist x = cos( α ) und y = sin( α ). Wenn y < 0 oder x ª 0 ist, dann ist die Länge α des Kreisbogens von (1 1 0) nach (x 1 y) größer als oder gleich 90 ° = π _ 2  . Für diesen  Fall haben wir cos( α ) und sin( α ) noch nicht definiert. Das machen wir jetzt: Mit P bezeichnen wir einen eindeutig bestimmten Punkt auf dem Einheitskreis so, dass der Winkel von (1 1 0) nach P gleich α ist. Dann definieren wir cos( α ) bzw. sin( α ) als die erste bzw. zweite Koordinate von P. Also: P = (cos( α ) 1 sin( α )) . Für 0 ª α  < π _ 2 stimmt diese Definition von cos( α ) und sin( α ) mit der schon bekannten überein. Drehwinkel y x (1 1 0) Q S P ggb zp2787 α (1 1 0) P = ( cos( α ) 1 sin( α ) ) y x (0 1 0) cos( α ) und sin( α ) für 0 ª α < 2 π y x α (1 1 0) (0 1 0) P = ( cos( α ) 1 sin( α ) ) Winkelfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv