Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

143 600 Von einem gleichschenkeligen Dreieck kennt man die Längen der Basis c = 20 cm und des Schenkels a = 30 cm. Berechne die Höhen h und h a , die Winkel α und γ  sowie den Flächeninhalt (siehe Zeichnung). Der Fußpunkt der Höhe h liegt genau in der Mitte der Basis c und teilt  das Dreieck in zwei rechtwinkelige Dreiecke. Daher lässt sich h mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen: h = 9 _____ a 2 – 2 c _ 2 3 2 = 9 _____ 30  2 – 10 2   ≈ 28,28 cm Jetzt können wir den Flächeninhalt A berechnen: A = c·h _ 2 = 20·28,28 __ 2 = 282,8 cm 2 Die Höhe h a erhalten wir aus A = a·h a _ 2 : h a = 2A _ a = 2·282,8 __ 30  ≈ 18,85 cm Es ist sin( α ) = h _ a , daher ist α = arcsin 2 h _ a 3 = arcsin 2 28,28 _ 30 3  = 70,50° Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°, daher ist β = 180° – 2 α = 180° – 2· 70,50 = 39,00°. 601 Berechne die fehlenden Längen, Winkel bzw. den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.  a. b. c. d. e. f. g. h. a (in cm) 13,00 7,00 c (in cm) 15,00 18,00 4,62 10,75 α  (in Grad) 21,79 35,10 γ  (in Grad) 23,44 36,19 71,77 h (in cm) 6,17 15,93 11,02 h a (in cm) Flächeninh. (in cm 2 ) 63,06 51,27 602 Löse die Aufgaben mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. Der Flächeninhalt eines gleich­ schenkeligen Dreiecks soll 100 cm 2 betragen. a. Berechne die Länge c der Basis und die Höhe h, wenn der Winkel α 5°, 10°, 15°, …, 85° beträgt. b. Ermittle die Umfänge der Dreiecke aus Aufgabe a. c. Erstelle ein Diagramm, das jedem Winkel α den Umfang des Dreiecks zuordnet. d. Gib an, für welches α der Umfang am kleinsten ist. e.  Ändere nun die Fläche von 100 cm 2  auf 500 cm 2 . Beschreibe, ob sich die Aussage aus Aufgabe d. geändert hat. 603 Ein Wäschetrockner (siehe Foto) hat im zusammen- gefahrenen Zustand eine Höhe von 15 cm. Ein Feld  des Wäschetrockners kann auf maximal 13 cm aus- gezogen werden. a. Berechne, wie hoch der Wäschetrockner bei maximalem Ausziehen noch ist. b. Ermittle, welchen Winkel die Metallstäbe bei maximalem Ausziehen einschließen. 604 Ein Verkehrsflugzeug startet am Flughafen Wien Schwechat, der eine Seehöhe von 183m hat.  Das Flugzeug hat dabei einen Steigwinkel von 9°. Berechne, in welcher horizontalen Entfernung  vom Startort das Flugzeug eine Höhe von 8000m erreicht. 605 Ein Radrennfahrer überwindet bei seiner Tour auf das Kitzbühler Horn eine Höhendifferenz von 1 503m und legt dabei 19,25 km zurück. Berechne den mittleren Steigungswinkel der Strecke auf  das Kitzbühler Horn. Berechnungen im gleichschenkeligen Dreieck A, B γ α α h h a a a c B a a c h h a γ α α , A, B, C , A, B , A, B , A, B , 6.1 Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv