Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

141 594 Von einem rechtwinkeligen Dreieck mit Eckpunkten A, B und C sind die Länge der Hypotenuse c = 7cm und der Winkel α  = 23° bekannt. Berechne die Längen der Katheten a und b, sowie den  Winkel β . Es ist sin( α ) = Gegenkathete _ Hypotenuse = a _ c , also ist a = c·sin( α ) = 7·sin(23°) ≈ 2,735 cm. Es ist cos( α ) = Ankathete _ Hypotenuse = b _ c , also ist b = c·cos( α ) = 7·cos(23°) ≈ 6,444 cm. (Wir könnten b auch mit dem Satz von Pythagoras berechnen, da wir a und c schon kennen.) β = 180° – 90° – α = 90° – α  = 67° 595 Von einem rechtwinkeligen Dreieck (siehe Skizze) kennt man eine Seite und einen Winkel. Berechne die übrigen Bestimmungsstücke. a. b. c. d. e. a 9 cm 605mm b 156mm c 12 cm 17,63dm α 56° 22° 0,89 rad β 32° 18° 12’ Arcusfunktionen Aus der Definition von sin( α ), cos( α ) und tan( α ) folgt: Ist x eine Zahl mit 0 ª x < 1, dann gibt es genau einen Winkel α mit 0° ª α < 90° (oder im Bogen- maß 0 ª α < π _ 2 ) mit sin( α ) = x. Wir nennen diesen Winkel den Arcussinus von x und schreiben α = arcsin(x) . Ist x eine Zahl mit 0 < x ª 1, dann gibt es genau einen Winkel α mit 0° ª α < 90° (oder im Bogen- maß 0 ª α < π _ 2 ) mit cos( α ) = x. Wir nennen diesen Winkel den Arcuscosinus von x und schreiben α = arccos(x) . Ist x eine nicht-negative reelle Zahl, dann gibt es genau einen Winkel α mit 0° ª α < 90° (oder im Bogenmaß 0 ª α < π _ 2 ) mit tan( α ) = x. Wir nennen diesen Winkel den Arcustangens von x und schreiben α = arctan(x) . Für Zahlen α mit 0 ª α < π _ 2 und x mit 0 ª x < 1 ist arcsin(x) = α genau dann, wenn sin( α ) = x ist. Für Zahlen α mit 0 ª α < π _ 2 und x mit 0 < x ª 1 ist arccos(x) = α genau dann, wenn cos( α ) = x ist. Für Zahlen α mit 0 ª α < π _ 2 und x mit 0 ª x ist arctan(x) = α genau dann, wenn tan( α ) = x ist. Achtung Anstelle von arcsin(x) findet man oft auch die Bezeichnungen sin ‒1 (x) und asin(x). Ebenso sind auch cos ‒1 (x) und acos(x) bzw. tan ‒1 (x) und atan(x) gebräuchlich. GeoGebra Ausgabe im Bogenmaß: arcsin( <x> ) oder asin( <x> ) arccos( <x> ) oder acos( <x> ) arctan( <x> ) oder atan( <x> ) Ausgabe im Gradmaß: Winkel[arcsin( <x> )] Winkel[arccos( <x> )] Winkel[arctan( <x> )] Bogenmaß: Gradmaß: Berechnungen am rechtwinkeligen Dreieck B c b a A B C α β c b a A B C α β B : Arcussinus Arcuscosinus Arcustangens Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens berechnen ggb 7fk4bd 6.1 Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv