Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

138 Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck Führt in eurer Klasse folgendes Experiment durch. ƒ Jede/r von euch zeichnet ein rechtwinkeliges   Dreieck, bei dem ein Winkel 30° ist, und misst dann  die Seiten dieses Dreiecks ab. ƒ Dann berechnet jede/r den Quotienten der  Kathetenlänge, die dem Winkel 30° gegenüber  liegt, und der Kathetenlänge, die an dem Winkel 30° anliegt. ƒ Vergleicht eure Ergebnisse. Was fällt euch auf? Man kann zeigen, dass der Quotient der zwei Katheten- längen in einem rechtwinkeligen Dreieck, den ihr gera- de berechnet habt, nur vom Winkel abhängt, und nicht von den Seitenlängen des Dreiecks. Den Beweis kannst du in der Online-Ergänzung zu diesem Buch nachlesen. Wir nennen einen der spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck α . Die Kathete, die α gegenüberliegt , nennen wir die Gegenkathete zu α . Die Kathete, die am Winkel α anliegt , bezeichnen wir als Ankathete zu α . Häufig schreiben wir anstatt „Seitenlänge der Ankathete“ abkürzend einfach „Ankathete“, ebenso für Gegenkathete und Hypotenuse. Die Quotienten dieser Seitenlängen haben eine wichtige Bedeutung. Der Sinus von α ist der Quotient sin( α ) = Gegenkathete __ Hypotenuse . Der Cosinus von α ist der Quotient cos( α ) = Ankathete __ Hypotenuse . Der Tangens von α ist der Quotient tan( α ) = Gegenkathete __ Ankathete . Wir können sin( α ), cos( α ) und tan( α ) an einem Viertelkreis mit Radius 1 veranschaulichen. Wir  betrachten zunächst das rechtwinkelige Dreieck ∆0AP. Nach Definition des Sinus ist sin( α ) = Gegenkathete _ Hypotenuse = Länge von AP _ 1 , das heißt, die Länge der Strecke AP ist sin( α ). Nach Definition des Cosinus ist cos( α ) = Ankathete _ Hypotenuse = Länge von 0A _ 1 , das heißt, die Länge der Strecke 0A ist cos( α ). Nun betrachten wir das rechtwinkelige Dreieck ∆0BC. Nach Definition des Tangens ist tan( α ) = Gegenkathete _ Ankathete = Länge von BC _ Länge von 0B = Länge von BC _ 1 , das heißt, die Länge der Strecke BC ist tan( α ). Der Satz von Pythagoras für das rechtwinkelige Dreieck mit den Eckpunkten ∆0AP ergibt: sin( α ) 2 + cos( α ) 2 = 1. Aus der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens folgt unmittelbar: sin(0) = 0, cos(0) = 1, tan(0) = 0 Material 4ag7cc Ankathete Gegenkathete α Gegenkathete Ankathete Sinus Cosinus Tangens cos( α ) sin( α ) tan( α ) 0 D 1 P C A B α Winkelfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv