Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

136 Der Satz von Pythagoras Wenn ein Winkel eines Dreiecks ein rechter Winkel ist, sprechen wir von einem rechtwinkeligen Dreieck . Die Seiten, die aufeinander normal stehen, heißen Katheten . Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse . Dabei bezeichnen wir mit a und b immer die Längen der Katheten und mit c die Länge der Hypo- tenuse. Der Satz von Pythagoras beschreibt den Zusammenhang zwischen diesen drei Längen. In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Längen der Katheten gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse. Mit den Bezeichnungen aus der Skizze wird das kurz so formu- liert: a 2 + b 2 = c 2 Eine Möglichkeit, das zu beweisen, findest du in Aufgabe 572. Es gilt auch die Umkehrung des Satzes von Pythagoras: Sind a, b und c die Seitenlängen eines Dreiecks und ist a 2 + b 2 = c 2 , dann ist das Dreieck recht- winkelig. Dieses Ergebnis wurde früher von Bauleuten benutzt, um rechte Winkel herzustellen. Drei Personen A, B, C bekommen drei Seile mit den Längen 3, 4 und 5. Es ist 3 2 + 4 2 = 5 2 . Jede Person nimmt die Enden von zwei Seilen so in die Hand, dass ein Dreieck aus den Seilen entsteht. C nimmt die Seile mit den Längen 3 und 4.  Sie gehen so weit auseinander, dass alle Seile straff gespannt sind. Dann bilden die Seile bei C einen rechten Winkel. 564 In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Kathetenlänge a = 7cm und die Länge der Hypotenuse  c = 15 cm. Berechne die Länge b der anderen Kathete. Nach dem Satz von Pythagoras ist a 2 + b 2 = c 2 . Daraus erhalten wir b = 9 ____ c 2 – a 2 = 9 ____ 15  2  – 7  2 = 9 __ 176 ≈ 13,266. Die Kathetenlänge b ist rund 13,3 cm. 565 In einem rechtwinkeligen Dreieck sind a und b die Längen der Katheten und c die Länge der Hypotenuse. Zwei dieser drei Längen sind gegeben. Berechne die dritte. a.  a = 3m; c = 5m   c.  a = 3m; c = 3  9 _ 2 m e.  a = 2,23m; b = 1,14m b.  b = 12m; c = 13m  d.  a = 10m; b = 20m  f.  b = 11,7m; c = 20m 566 Ein Rechteck hat die Seitenlängen a und b. Erkläre, wie man die Länge der Diagonalen berechnet. 567 Kreuze an, welche der Dreiecke mit den Seitenlängen a, b und c rechtwinkelig sind. Begründe. A B C D E F a 5 cm 7m 800 cm 90 cm 110 cm 12 cm b 12 cm 24m 15m 3,9m 3,4m    30 cm c 13 cm 25m 170 dm 4,1m 370 cm 270mm 568 Barbaren wollen mithilfe von Leitern die Mauer einer Burg überwinden. Ermittle, wie lange diese Leitern mindestens sein müssen, wenn die Mauer 7m hoch und von einem 3m breiten  Wassergraben umgeben ist. rechtwinkeliges Dreieck Hypotenuse Kathete Kathete Kathete Hypotenuse Satz von Pythagoras c b a A B C α β Umkehrung des Satzes von Pythagoras A B C den Satz von Pythagoras anwenden B B : D , D , A, B , Winkelfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum  5  5 des Verlags öbv