Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

135 Winkel im Dreieck Wir werden die Eckpunkte eines Dreiecks zumeist mit A , B , C bezeichnen, die Längen der diesen gegenüberliegenden Seiten mit a , b , c und die Winkel bei diesen Eckpunkten mit α , β , γ . Mit h a , h b , h c bezeichnen wir die Höhen in A, B, C. Der Flächeninhalt A und der Umfang u eines Dreiecks sind A = a·h a _ 2 = b·h b _ 2 = c·h c _ 2 und u = a + b + c . Wenn das Dreieck rechtwinkelig mit γ = 90° ist, dann ist a = h b und b = h a , also A = a·b _ 2 . Die Summe der Winkel eines Dreiecks ist immer 180° (oder im Bogenmaß π rad). Mit der oben eingeführten Schreibweise schreiben wir kurz: α + β + γ = 180° Die Begründung dafür kann man sich mit der folgenden Zeichnung überlegen. 558 In einem rechtwinkeligen Dreieck mit Winkel γ = 90° ist einer der beiden spitzen Winkel α  = 28° 37’ 52’’. Berechne den anderen spitzen Winkel β . Es ist α + β + γ = 180°. Daher ist β = 180° – γ – α  = 180° – 90° – 28° 37’ 52’’ = 90° – 28° 37’ 52’’ = 61° 22’ 08’’. 559 Zwei Winkel eines Dreiecks sind gegeben. Berechne den dritten. a. 54° 32’ 8’’; 26° 44’ 34’’   c. 34,98°; 100,78°   e. 1,23 rad; 1,89 rad b. 89° 42’ 51’’; 88° 36’ 11’’   d. 56,87°; 93,87°   f. 0,23 rad; 2,52 rad 560 Argumentiere, warum in einem Dreieck höchstens ein Winkel größer als 90° sein kann. 561 Zeige: In einem rechtwinkeligen Dreieck mit γ = 90° gilt stets α + β = 90°. 562 Zeichne mithilfe eines Geodreiecks und eines Zirkels ein Dreieck mit den gegebenen Bestimmungsstücken. Miss in deiner Zeichnung die fehlenden Winkel und Seitenlängen ab. a.  b = 4,0 cm; c = 6,4 cm; α  = 58° b.  a = 6,3 cm; c = 5,5 cm; β = 80° c.  c = 6 cm; α  = 66°; β  = 36° d.  a = 4,8 cm; β  = 63°;  γ = 68° 563 Zeichne mithilfe eines Geodreiecks und eines Zirkels das Dreieck mit den gegebenen Bestim- mungsstücken. Miss in deiner Zeichnung eine der Höhen dieses Dreiecks ab und berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks. a.  c = 5 cm; α  = 59°; β  = 72°   c.  b = 5,6 cm; c = 4,2 cm; α  = 76° b.  c = 6,4 cm; α  = 47°; β  = 35°  d.  a = 4,8 cm; c = 6,2 cm; β  = 37° ggb u5zw82 β γ α B A b a h c h b h a c C Bezeichnung von Dreiecken Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks Winkelsumme im Dreieck β β γ α α B A C Winkel im rechtwinkeligen Dreieck berechnen B B , D , D , B, C ; B, C ; 6.1 Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv