Mathematik anwenden HUM 2, Schulbuch

119 Wie findet man nun die inverse Matrix zu einer gegebenen Matrix A? Für den Fall, dass es sich bei A um eine 2×2-Matrix handelt, ist dieses Problem relativ leicht zu lösen. Denn berechnen wir das Produkt der Matrizen A = 2 a b c d 3 und B = 2 d ‒ c ‒b a 3 , so erhalten wir: A · B = 2 ad – bc cd – cd ‒ ab + ab ad – bc 3 = 2 ad – bc 0 0 ad – bc 3 B · A = 2 ad – bc ‒ ac + ac bd – bd ad – bc 3 = 2 ad – bc 0 0 ad – bc 3 Das ist beide Male ein Vielfaches der Einheitsmatrix. Genauer: A · B = B · A = (ad – bc) · 2 1 0 0 1 3 Wir haben somit eine einfache Methode entdeckt, mit der wir die zu einer 2×2 Matrix inverse Matrix erhalten können: Wenn ad – bc ≠ 0 ist, ist A ‒1 = 1 _ ad – bc · 2 d ‒ c ‒b a 3 die zur 2 ×2-Matrix A = 2 a b c d 3 inverse Matrix . Wenn ad – bc = 0 ist, gibt es keine zu A inverse Matrix. Für n×n-Matrizen mit n > 2 lässt sich die Berechnung der inversen Matrix leider nicht so einfach und schnell durchführen. Daher verwenden wir dazu eine geeignete Technologie. GeoGebra Invertiere[ <Matrix> ] ¥ Excel = MINV( Matrix ) Wichtig: zuerst passenden Zell- bereich für das Ergebnis mar- kieren, dann die Tastenkombi- nation Strg & Umschalt & Eingabe drücken ¥ TI Nspire Matrix ^(‒1) 505 Berechne, falls es möglich ist, die zur gegebenen 2×2-Matrix A inverse Matrix A ‒1 . Kontrolliere das Ergebnis, indem du A ‒1 ·A berechnest. a. A = 2 4 1 2 5 3 b. A = 2 3 ‒ 9 ‒ 2 6 3 a.  4·5 – 2·1 ≠ 0, daher ist A ‒1 = 1 __ 4·5 – 2·1 · 2 5 ‒1 ‒ 2 4 3 = 1 _ 18 · 2 5 ‒1 ‒ 2 4 3 = 2 5 _ 18 ‒   1 _ 18 ‒   1 _ 9 2 _ 9 3 Kontrolle: 2 5 _ 18 ‒   1 _ 18 ‒   1 _ 9 2 _ 9 3 · 2 4 1 2 5 3 = 2 1 0 0 1 3 b.  3·6 – (‒ 2)·(‒ 9) = 0, daher gibt es keine zu A inverse Matrix. 506 Berechne, falls es möglich ist, die zur gegebenen 2×2-Matrix A inverse Matrix A ‒1 . Kontrolliere das Ergebnis, indem du A·A ‒1 berechnest. a. A = 2 5 1 2 0 3 b. A = 2 8 1 2 ‒ 6 3 inverse Matrix einer 2×2-Matrix inverse Matrix berechnen ggb/xls/tns u5wp3i die inverse Matrix berechnen ggb/xls/tns 3yx5yp B B , 5.4 Lineare Gleichungssysteme in Matrizenform Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv