Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

91 2.5 Lineare Ungleichungen 2.5 Lineare Ungleichungen Ich lerne lineare Ungleichungen zu lösen. Ich lerne Textaufgaben durch lineare Ungleichungen zu modellieren und zu lösen. Manuel hat 25€ geschenkt bekommen und beschließt, damit Erdbeeren zu kaufen. Die Fahrt mit dem Autobus ins Erdbeer- land und zurück kostet 3,80€ und für jedes Kilogramm Erdbee- ren sind 2,20€ zu bezahlen. Wie viel Kilogramm Erdbeeren kann Manuel höchstens kaufen? Wenn Manuel z kg Erdbeeren kauft, dann braucht er dafür 2,20·z € für die Erdbeeren und 3,80€ für die Fahrkarte, insge- samt also 2,20·z + 3,80€. Weil Manuel nur 25€ zur Verfügung hat, muss die Zahl z also die Bedingung 2,20·z + 3,80 ª 25 erfüllen. Die Aufgabe, die Menge aller solcher Zahlen zu beschreiben, nennt man eine lineare Ungleichung . Aufgaben der Art „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit 3z + 4 < 5“ oder „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit 3z + 4 > 5“ oder „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit 3z + 4 ª 5“ oder „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit 3z + 4 º 5“ nennen wir lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten . Die gesuchte Menge heißt dann Lösungsmenge der Ungleichung. Besonders einfache Ungleichungen sind die folgenden Aufgaben: Die Lösungsmenge der Aufgabe „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit z ª 2“ ist {z * R‡ z ª 2} = ( ‒ • ; 2], die negative Halbgerade mit Anfangspunkt 2. 2 0 Die Lösungsmenge der Aufgabe „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit z º 2“ ist {z * R‡ z º 2} = [2; • ), die positive Halbgerade mit Anfangspunkt 2. 2 0 Die Lösungsmenge der Aufgabe „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit z < 2“ ist {z * R‡ z < 2} = ( ‒ • ; 2), die negative offene Halbgerade mit Anfangspunkt 2. 2 0 Die Lösungsmenge der Aufgabe „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit z > 2“ ist {z * R‡ z > 2} = (2; • ), die positive offene Halbgerade mit Anfangspunkt 2. 2 0 Die Lösungsmenge der Aufgabe „Beschreibe die Menge aller Zahlen z mit 0 < 1 bzw. 0 < ‒1“ ist R bzw. { }, weil für jede Zahl 0 < 1 ist bzw. für keine Zahl 0 < ‒1 ist. Tipp Zum Lösen von komplizierteren Ungleichungen verwenden wir die folgende Vorgangsweise: Wenn wir eine Aufgabe nicht sofort lösen können, dann verändern wir die Aufgabe so, dass sie einfacher wird, zugleich aber dieselbe Lösungsmenge wie die ursprüngliche Aufgabe hat. Dies wiederholen wir so lange, bis die Aufgabe so leicht geworden ist, dass wir sie lösen können. Zwei Ungleichungen, die dieselbe Lösungsmenge haben, nennen wir äquivalent . Den Übergang von einer Ungleichung zu einer äquivalenten Ungleichung nennen wir erlaubte Umformung oder Äquivalenzumformung einer Ungleichung. lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten Lösungsmenge äquivalent Äquivalenz- umformung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv