Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

72 Lineare Gleichungen Zurückführen spezieller Gleichungen auf lineare Gleichungen Manchen Aufgaben sieht man es nicht von vornherein an, dass sie durch eine lineare Gleichung beschrieben werden können. Sie sind zunächst komplizierter gegeben. In diesem Fall wenden wir wieder unsere allgemeine Problemlösestrategie an: Wenn wir eine Aufgabe nicht sofort lösen können, dann verändern wir die Aufgabe so, dass sie einfacher wird, zugleich aber dieselbe Lösung wie die ursprüngliche Aufgabe hat. In den folgenden Aufgaben ist wieder jeweils eine Zahl gesucht, die eine gegebene Bedingung erfüllt. Durch Äquivalenzumformungen versuchen wir, diese Gleichung auf eine lineare Gleichung zurückzuführen, deren Lösung diese gesuchte Zahl ist. Das gelingt aber nicht immer! 525 Löse die Gleichung (3u – 4) 2 – 5u(2u + 7) = (u + 4)(u – 4) – 2u(u + 1). Zuerst quadrieren wir und multiplizieren auf beiden Seiten aus. 9u 2 – 24u + 16 – 10u 2 – 35u = u 2 – 16 – 2u 2 – 2u ! zusammenfassen ‒u 2 – 59u + 16 = ‒u 2 – 2u – 16 ! + u 2 ‒ 59u + 16 = ‒2u – 16 Die Aufgabe, u zu berechnen, ist nun zu einer linearen Gleichung geworden, die wir lösen können. ‒ 59u + 16 = ‒2u – 16 ! + 2u ‒ 57u + 16 = ‒16 ! – 16 ‒ 57u = ‒32 ! : (‒ 57) u = ​  32 _ 57 ​ 526 Prüfe, ob die Aufgabe eine lineare Gleichung ist oder als solche aufgefasst werden kann. Begründe. a. Finde eine Zahl t so, dass ​  t _ 4 ​+ 15 = 23 – t ist. b. Finde eine Zahl x so, dass 2(x – 3) 2 = (x – 4)(2x + 2) + 2(x – 1) ist. c. Finde eine Zahl y so, dass (y + 2)·3y = 6y(y – 1) ist. d. Finde eine Zahl r so, dass (r – 4)(2r + 8) – 27 = (2r + 8) 2 – (r + 1)(r – 1) ist. e. Finde eine Zahl u so, dass u = 5 – ​  7 _ 8 ​+ 23 ist. 527 Löse die Gleichung in der Grundmenge  I. N ,  II. Z ,  III. Q . a. (2x + 3)(2x – 3) = (x – 7)(4x + 11) b. (2x – 3) 2 + (2x – 5)(x – 10) = (2x + 6)(3x – 4) – (7x – 3) c. (5x + 6)(5x – 6) = (10x + 3) + (5x – 9) 2 528 Löse die Gleichung in der Grundmenge R und gib die Lösungsmenge an. a. (x + 4)(x – 3) = (x + 2) 2 – 3(x + 2) b. (3x + 5)(2x + 1) + 3(x + 1) 2 = (3x + 2) 2 + (7x + 4) c. (4x – 3) 2 – (x + 1) = (3x + 4) (2x – 7) + (3x – 1) 2 529 Argumentiere, für welche Zahl a die Gleichung in eine lineare Gleichung übergeführt werden kann. a. (2x – 3) 2 = a·x 2 + 3x + 9 b. (5x – 7)(3x + 2) = a·x 2 – 7x + 4 c. (6x + 3)(7x + 1) = (5x – 1)(8x + 4) + a·x 2 d. (2x – 4)(4x – 3) – (5x + 1)(3x + 2) = (6x – 9) 2 + a·x 2 530 Gib eine Zahl c an, für die die Gleichung in eine lineare Gleichung übergeführt wird. Begründe deine Entscheidung. a. (3x – 8) 2 = c·(x + 9)(x – 9) + 15x b. c·(x – 5) 2 = (2x – 1)(4x + 3) – (7x – 1) 2 c. c·(3x + 8) 2 = (3x + 5) 2 – (3x – 2) 2 + 6(4x – 5) d. (x + 4) – (3x + 1)(3x – 1) = c·(3x + 1) 2 – 12(x + 7)  ggb/tns 2aw77m B eine Gleichung, in der die Unbekannte mit Hochzahl 2 vorkommt, lösen D : B, C , B, C , D , D , Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv