Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

68 Lineare Gleichungen 485 Prüfe, welche der Gleichungen zur gegebenen Gleichung äquivalent sind. Begründe. a. 4x – 12 = 6x + 2 A 12 = 10x + 2 C 2x – 6 = 3x + 1 E 10x = ‒10 B 4x = 6x + 14 D 4x – 10 = 6x F ‒ 2x = 14 b. 21 – 3(2u – 2) = 12 – 3u A 3(2u – 2) = 33 – 3 u C 33 – 3(2u – 2) = 3u E 21 + 3u = 3(2u – 2) B 9 – 3(2u – 2) = ‒ 3u D 7 – (2u – 2) = 4 – u F 42 – 6(4u – 4) = 24 – 6u Lineare Gleichungen lösen Wenn wir lineare Gleichungen lösen, können drei Fälle auftreten. Eine Gleichung kann keine Lösung, beliebig viele Lösungen oder genau eine Lösung haben. 3x – 2 = 2x + x 3x – 2 = 3x | ‒ 3x ‒2 = 0 2x + 2 = 2(x + 1) 2x + 2 = 2 x + 2 | – 2 2x = 2x | ‒ 2x 0 = 0 5x + 2 = 2(x – 2) 5x + 2 = 2x – 4 | ‒ 2 5x = 2x – 6 | ‒ 2x 3x = ‒ 6 | : 3 x = ‒2 Diese Gleichung hat keine Lösung. Diese Gleichung hat alle Zahlen als Lösung. Diese Gleichung hat genau eine Lösung. Manchmal wollen wir nur gewisse Zahlen als Lösungen zulassen und geben das zugleich mit der Gleichung an. Wir nennen dann die Menge dieser zugelassenen Zahlen die Grundmenge . Wenn es heißt: „Löse die Gleichung in der Grundmenge G“, dann meinen wir mit Lösungsmenge nur die Menge der Lösungen, die in der Grundmenge G enthalten sind. Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit einer Unbekannten ist entweder leer oder ist die Grundmenge oder enthält genau eine Zahl. Tipp Beim Umformen von Gleichungen gehen wir günstigerweise so vor: Zuerst lösen wir alle Klammern durch Ausmultiplizieren auf. Dann fassen wir zusammen und sorgen durch Addition oder Subtraktion (auf beiden Seiten der Gleichung) dafür, dass auf einer Seite der Gleichung ein Vielfaches der gesuchten Zahl und auf der anderen eine Zahl steht. Nun formen wir durch Multiplikation oder Division (auf beiden Seiten der Gleichung) auf die gesuchte einfache Form um. 486 Löse die Gleichung (3x + 4)·7 – 8 = 6 und mach die Probe. (3x + 4)·7 – 8 = 6 ! Klammer durch Ausmultiplizieren auflösen 21x + 28 – 8 = 6 ! zusammenfassen 21x + 20 = 6 ! – 20 21x = ‒14 ! : 21 x = ‒   14 _ 21 ! kürzen x = ‒   2 _ 3 Probe: Ersetzen von x durch ‒   2 _ 3 in der Gleichung liefert: 2  3· 2 ‒   2 _ 3   3 + 4  3 ·7 – 8 = (‒ 2 + 4)·7 – 8 = 2·7 – 8 = 14 – 8 = 6 stimmt! GeoGebra Löse[ <Gleichung> , <Variable> ] TI Nspire solve( Gleichung , Var ) , D Grundmenge ggb/tns sq5nh8 B eine lineare Gleichung umformen und die Probe machen eine Gleichung lösen ggb/tns 5q47vm Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv