Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

67 2.2 Äquivalenzumformungen 480 Führe die neben der Gleichung angegebene Äquivalenzumformung durch. a. 4x + 3 = 7x – 9 | + 9 c. 2(x + 9) = 8x + 2 | : 2 e. ​  x _ 3 ​+ 5x = x – 8 | ·3 b. 8x – 5 = 4x – 2 | ‒ 4x d. 6x – 3 = 6 – 5x | – 6 f. ​  5 _ x ​– 3 = ​  8 _ x ​+ 7 | ·x 481 Auf einer Seite der Gleichung wurde die Äquivalenzumformung bereits durchgeführt. Gib an, um welche Umformung es sich handelt, und ergänze die andere Seite. a. 2x – 9 = 5x + 3 | _______ c. ​  5x _ 4  ​+ 3 = 2x – 5 | _______ 2x – 6 = ______ 5x + 12 = _____ b. 8x + 7 = 3x – 9 | _______ d. 4x + 3 = 2x – 6 | _______ 5x + 7 = ______ 6x + 3 = ______ 482 Im folgenden „Beweis“, dass 5 = 2 ist, wurde ein Fehler gemacht. Gib an, bei welcher Umformung dieser Fehler gemacht wurde, und begründe deine Entscheidung. 5 = 2 + 3 | ·2 2·5 = 2·2 + 2·3 | ausmultiplizieren 10 = 4 + 6 | – 10 10 – 10 = 4 + 6 – 10 | auf der linken Seite 25 – 25 = 0 addieren 10 – 10 + 25 – 25 = 4 + 6 – 10 | zusammenfassen: ‒10 + 25 = 15 10 + 15 – 25 = 4 + 6 – 10 | herausheben 5·(2 + 3 – 5) = 2·(2 + 3 – 5) | : (2 + 3 – 5) 5 = 2 Der Fehler passiert beim Übergang von der 7. zur 8. Zeile. Es werden beide Seiten durch (2 + 3 – 5) = 0 dividiert. Eine Division durch 0 ist nicht möglich und daher keine erlaubte Äquivalenzumformung. 483 Im folgenden „Beweis“ wurde ein Fehler gemacht. Gib an, bei welcher Umformung dieser Fehler gemacht wurde, und begründe deine Entscheidung. a. 2 – 2 = 4 – 4 2 – 2 = 2 2 – 2 2 | binomische Formel (2 – 2) = (2 + 2)(2 – 2) | : (2 – 2) 1 = (2 + 2) 1 = 4 b. a = b | · a a 2 = ab | – b 2 a 2 – b 2 = ab – b 2 | binomischen Formel anwenden bzw. herausheben (a + b)(a – b) = b(a – b) | : (a – b) a + b = b | da a = b, ist a + b = b + b = 2b 2b = b | : b 2 = 1 484 Überprüfe, ob es sich bei der Umformung um eine Äquivalenzumformung handelt. Erkläre gegebenenfalls, worin der Umformungsfehler besteht. a. 6a + 11 = 24 ! : 6 d. 12 – 3x = 24 ! – 12 a + 11 = 4 ! – 11 3x = 12 ! : 3 a = ‒7 x = 4 b. 2x + 4 = x + 8 x + 2 = ​  x _ 2 ​+ 4 x = ​  x _ 2 ​+ 2 2x = x + 2 x = 2 ! : 2 ! – 2 ! ·2 ! – x e. 3u + 2 = ​  u _  2 ​– 1 6u + 4 = u – 1 5u + 4 = ‒1 5u = ‒5 u = ‒1 ! ·2 ! – u ! – 4 ! : 5 c. 3 – 2(5t + 1) = 7t – 4 ! + 3 f. 6y – 3(y – 4) = 15 – 2y 2(5t + 1) = 7t – 1 6y – 3y – 12 = 15 – 2y 10t + 2 = 7t – 1 ! – 2 3y – 12 = 15 – 2y ! – 15 10t = 7t – 3 ! – 7t 3y – 27 = 2y ! – 3y 3t = ‒ 3 ! : 3 ‒ 27 = ‒ y ! ·(‒1) t = ‒1 27 = y B : C , C, D Äquivalenz- umformungen prüfen , C, D , D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv