Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

6 Zahlen und Rechenregeln 1.1 Natürliche Zahlen Ich wiederhole mit natürlichen Zahlen zu rechnen. Die Zahlen Null, Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf … nennen wir natürliche Zahlen . Natürliche Zahlen können auf verschiedene Weisen angeschrie- ben werden, zum Beispiel durch Aneinanderreihen von Strichen I, II, III, IIII, IIIII … Die Römer haben die Zahlen von eins bis zehn so geschrieben (die Null kannten sie noch nicht): I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X Von den Indern und Arabern haben die Europäer vor etwa 500 Jahren folgende Schreibweise (die arabischen Ziffern) übernommen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 … Es genügt, die Zeichen 0, 1, …, 9 („Ziffern“) für die Zahlen Null, Eins, …, Neun zu wählen, alle anderen Zahlen kann man dann durch Aneinanderreihen dieser Ziffern darstellen. Man schreibt 10 für zehn, 100 für hundert, 1 000 für tausend, 10000 für zehntausend … und zum Beispiel 47138 für die Zahl 4·10000 + 7·1 000 + 1·100 + 3·10 + 8. Diese Art, Zahlen anzuschreiben, nennt man die Darstellung einer Zahl durch Ziffern zur Basis zehn oder Dezimalziffern (vom lateinischen Wort decem für zehn). In den vergangenen Jahren hast du diese Darstellung von Zahlen kennengelernt und auch gelernt, mit so dargestellten Zahlen zu rechnen: Je zwei natürliche Zahlen a und b können addiert und multipliziert werden, für ihre Summe schreibt man a + b, für ihr Produkt a·b. Wenn a > b oder a = b ist, kann b von a subtrahiert werden, wir schreiben a – b für die Differenz . Subtrahiert man eine natürliche Zahl b so oft von a, bis die Differenz kleiner als b ist, dann hat man a mit Rest durch b dividiert . Zum Beispiel kann man 7 dreimal von 23 subtrahieren, dann bleibt 2 übrig. Statt 23 – 7 – 7 – 7 = 2 oder 23 = 3·7 + 2 schreibt man oft „23 : 7 = 3 und 2 Rest“. Bei der Division mit Rest berechnet man also nicht (wie bei der Addition, Multiplikation und Subtrak- tion) eine Zahl, sondern zwei , man nennt sie den ganzzahligen Quotienten und den Rest . Der ganzzahlige Quotient von 23 und 7 ist 3, der entsprechende Rest 2. Wenn der Rest 0 ist, schreibt man ihn oft nicht an, zum Beispiel: 24 : 6 = 4 anstatt 24 : 6 = 4 und 0 Rest. Wenn wir hintereinander mehrere Additionen oder Subtraktionen ausführen, dann geben wir durch Klammern an, in welcher Reihenfolge addiert oder subtrahiert werden soll. Beim Addieren bleibt das Ergebnis unverändert, wenn man die Reihenfolge ändert. Beim Subtrahieren ist das aber anders: 8 – (5 – 2) = 8 – 3 = 5, aber (8 – 5) – 2 = 3 – 2 = 1 Wir vereinbaren: Wenn mehrere Subtraktionen ohne Klammern geschrieben werden, sind die Subtraktionen in der Reihenfolge von links nach rechts auszuführen. Mit 8 – 5 – 2meinen wir also (8 – 5) – 2 und nicht 8 – (5 – 2). Wenn keine Klammern gesetzt werden, ist zuerst die Multiplikation oder Division (mit Rest 0) und dann die Addition oder Subtraktion auszuführen („ Punktrechnung kommt vor Strich- rechnung “). Beispiel: 2·3 + 4 = 10 und 12 : 3 – 1 = 3, aber 2·(3 + 4) = 14 und 12 : (3 – 1) = 6 natürliche Zahlen Dezimalziffern Klammern mehrfache Subtraktion Vorrangregel Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv